数学必修13.2.1 对数教学设计

第二十一课时 对数（2）

学习要求

1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；

2．能较熟练地运用这些法则和联系的观点解决问题；

自学评价

1．指数幂运算的性质

（1）

（2）（3）

（2）

（3）

说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；

（2）注意有时必须逆向运算：如  ；

（3）注意性质的使用条件：每一个对数都要有意义。

  是不成立的，

是不成立的（4）当心记忆错误：

，试举反例，                    ，试举反例。

（5）对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。

【精典范例】

例1：用，，表示下列各式：（1）；（2）．

分析：应用对数运算的性质可直接得出。

【解】（1）原式；

（2）原式

例2：求下列各式的值：

（1）；  （2）；

（3）；  

（4）

【解】

（1）

（2）

（3）

（4）

点评: 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键。

例3：已知，求下列各式的值（结果保留４位小数）：

　　(1) ；　　　(2)

【解】（1）

（2）

点评:寻找已知条件与所求结论的内在联系这是解题的一般途径。。

例4:计算：（1）14；；

（3）

【解】（1）解法一：

解法二：

=；

（2）原式

（3）原式

点评:灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用。在化简变形的过程中，要善于观察比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案。

是一个重要的结论。

追踪训练一

1. 用，，表示：

2.求值：（1）

（2）

3. 已知，求的值（结果保留４位小数）：

答案：１．

２．（１）－３２　（２）１

３．

【选修延伸】

一、对数与方程 

例5：已知，求之间的关系。

分析：由于在幂的指数上，所以可考虑用对数式表示出。

【解】∵ ，∴两边取以10为底的对数得：

∴，∵

∴

点评:本题要求关于的代数式的值，必须对已知等式两边取对数，恰当的选取对数的底数是十分重要的，同时是关键。

例6．设，

求：的值

分析：本题只需求出的值，从条件式出发，设法变形为的方程。

【解】当时，原式可化为：，即

，∴或（舍）

∴

思维点拔：

本题在求时，不是分别求出的值，而是把看成一个字母，这种方法称为“整体”思想方法。是关于的齐次式，对于齐次式通常都用本题的方法处理。

对于连比式，通常对等式两边取对数，转化为对数运算，同时化对数的底数相同也是解决对数问题的常用策略．

追踪训练二

1．设，求的值。

2．已知：，求

答案：１．∵　

∴　∴

∴

２．（法一）由对数定义可知：．

（法二）由已知移项可得，

即，由对数定义知：，

∴ ．

（法三），

∴，

∴ ．