2020-2021学年第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数3.2.2 对数函数教案设计

第二十五课时 对数函数（3）

学习要求

1.会求一类与对数函数有关的复合函数的定义域、值域和单调性等；

2.能熟练地运用对数函数的性质解题；

3.提高学生分析问题和解决问题的能力。

自学评价

1．

2.

3.

4.

【精典范例】

例1：讨论函数的奇偶性与单调性。

【解】由题意可知：解得：

定义域为

又

为偶函数

证明：在是任取

令,,则

，

即

又在上是增函数

即

在上单调递增。

同理可证：在上单调递减。

点评:判断函数奇偶性，必须先求出定义域，单调性的判断在定义域内用定义判断。

例2：(1)求函数的单调区间．

(2)若函数在区间上是增函数，的取值范围．

【解】(1)令在上递增，在上递减，

又∵，     ∴或，

故在上递增，在上递减，   又∵为减函数，

所以，函数在上递增，在上递减．

(2)令，

    ∵函数为减函数，

∴在区间上递减，

且满足，

∴，解得

，

所以，的取值范围为．

点评:利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间．

例3：已知满足

，

求函数的最值。

【解】由题意：

可转化为：，将看作整体，

解得：，

即，

所以

令，

则

则

所以，

点评:利用函数的单调性求函数最值（或值域）是求函数最值（或值域）的主要方法之一，本题首先要根据条件求出的取值范围，体现了整体思想方法，然后转化为二次函数，体现了化归的思想方法，换元法的使用是实现化归思想的一种手段，也是化归的一个过程。

追踪训练一

1．  函数的定义域

是（0，2）,值域是，

单调增区间是（0，1）

2．求函数

的最小值和最大值。

答案：1。定义域：

值域：

单调增区间：

2．最小值，    最大值7

【选修延伸】

一、对数与方程 

例4:若方程的所有解都大于1，求的取值范围。

分析：由对数函数的性质，方程可变形为关于的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论。

【解】原方程可化为：

即

令，则方程等价于

若原方程的所有解都大于1，则方程（*）的所有解都大于0，则

解得：

思维点拔：

（1）有关对数方程解的情况讨论，通常是利用换元法，将方程转化为一元一次或一元二次方程解的讨论；如果是方程解的个数问题，又可以用函数的图象求解，如求方程的实根的个数。

（2）换元后必须保证新变量与所替换的量的取值范围的一致性。

追踪训练二

1．  已知方程

（1）若方程有且只有一个根，求的取值范围 ．

（2）若方程无实数根，求的取值范围 ．

答案：（1）

     （2）