高中数学苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数3.2.2 对数函数教学设计

与对数函数有关的参数范围问题

渗透于函数、不等式、方程中与对数有关的参数范围问题，是一个难点.此类题型思维性较强，条件具有隐蔽性，且解题方法灵活多样，能较好体现对学生的能力考查，因此备受高考命题者的青睐.下面举例说明.

一、对数型函数中的参数范围问题

此类题主要利用函数的性质(奇偶性、单调性、定义域与值域的限制等)实施价转化，常结合数形结合、分离参数等方法进行解答，要特别注意的是真数和底数对变量的限制条件.

例1设f(x)=lg,其中x∈R,如果当x∈(-∞,1)时,f(x)有意义，求a的取值范围.

解：由题设得：当x∈(-∞,1)时,1+2x+4xa＞0…①恒成立，变形得：a＞-[()x+()x],

要使①式恒成立,对x∈(-∞,1],a≥-[()x+()x]的最大值,∵()x和()x在(-∞,1]上都是减函数，

∴-[()x+()x]在x∈(-∞,1]上都是增函数，∴当x=1时，-[()x+()x]取得最大值﹣,

∴a≥﹣,∴a的取值范围是a≥﹣.

例2是否存在实数a,使得f(x)=loga(ax-)在区间[2,4]上是增函数，若存在，求出a的值.

解：设t=,由对数定义有ax-＞0at2-tat(t﹣)＞0,

又知u(t)=at2-t=(t﹣)2﹣(t＞)是以t=为对称轴的抛物线，且有t＞＞，

即定义区间t∈(,+∞)在对称轴t=的右侧，因抛物线开口向上，知u(t)在定义区间上单调增，

要使原函数在x∈[2,4]上单调增，应a＞1且≤,解得a＞1.

二、对数型不等式中的参数范围问题

此类题型主要涉及恒成立不等式中变量的取值范围问题，可根据a＞f(x)恒成立a＞f(x)max,a＜f(x)恒成立a＜f(x)min，因而利用分离参数的方法容易凑效，或者将不等式转化为所熟悉的常见不等式进行解答，或者从不等式的结构上联想相对应的函数，再利用函数的性质求解．

例3设对所有实数x,不等式x2log2+2xlog2+log2＞0,恒成立，求a的取值范围.

解法1：(换元转化)令u=log2,则(3+u)x2-2ux+2u＞0,

∴,解得u＞0,∴＞1,解得0＜a＜1.

解法2：(分离参数)原不等式可化成：x2(3+log2)-2x·log2+2log2＞0,

即(x2-2x+2)·log2+3x2＞0,∴x2-2x+2=(x-1)2+1＞0,

要使原不等式恒成立，当且仅当log2＞0，解得0＜a＜1.

例4 a为何值时，对区间[0,3]上任意实数x，不等式log(2x+2)＜-1都成立？

分析：∵0≤x≤3,∴2≤2x+2≤8.又∵log(2x+2)＜log恒成立.

当2a2-1＞1时, ＞8,2a2-1＜(舍)；

当0＜2a2-1＜1时, ＜2, 2a2-1＞,∴＜2a2-1＜1,即＜|a|＜1,

∴＜a＜1或-1＜a＜-.

例5 若不等式x2-㏒mx＜0在(0，)内恒成立，则实数m的取值范围是(     ) 

A. ≤m＜1    B. 0＜m≤     C.0＜m＜     D. m≥

分析：题中不等式由一个整式与对数式构成，可借助函数y= x2与y=㏒mx的图象进行处理，因为㏒mx ＞x2≥0，x∈ (0，)，0＜m＜1.

在直角坐标系中分别作出y= x2与y=㏒mx的图象.

由图象可知，只要当x=时，㏒mx≥x2，就满足条件，即㏒m≥()2，解得≤m＜1，故选(A).

三、对数型方程中的参数范围问题

求含有对数的方程中的参数的范围，其解题策略主要是将方程转化为由方程和不等式的一个混合组，然后利用数形结合、分离参数、二次函数的图象与性质等进行解答.

例7如果方程=2至少有一个实数根，求a的取值范围.

解：原方程等价变形为,方程②的根满足条件①才是原方程的根，

即方程②应有不等于3的正根.∵x1+x2=9＞0(此时x1，x2中至少有一个正根)，

∴方程②有正根的条件是△=81-36a≥0a≤,令x=3得a=2,但当a=2时方程②有两解x1=3，x2=6，其中x2为原方程的根，∴a=2也符合题意，故a的取值范围是(-∞,].

对数函数的图象的妙用

对数函数的图象很好地体现了数形结合的数学思想，对于某些对数及对数函数问题，若借助对数函数的图象求解，则显得非常简捷．

一、比较对数值的大小

例１ 比较，与（其中＞1）的大小．

解：结合对数函数的图象．当＞１时，

若底数为大于零小于１，底数越小，

图象从轴下越接近于轴．而＞０　　

　故　＞＞

二、判断对数方程解的个数

例２ 方程的实数解有（　　　）

Ａ．０个　　   Ｂ．１个　　　 

Ｃ．２个　　　Ｄ．３个

解：令　，．

在同一坐标系中，分别画出两个函数图象．

如图２所示，两个函数图象只有一个交点，

所以方程有一个解．故选Ｂ．

注：此方程属于超越方程．没有其直接解法，

利用数形结合可从图象上观察到两函数图象的交点个数，从而推出方程解的个数．关键是较准确做出两函数图象．

三、求取值范围

例３ 若满足－３＋＝－，则属于区间（　　　）

Ａ．（０，１）　Ｂ．（１，２）　　　

Ｃ．（１，３）　　Ｄ．（３，４）

解：由－３＋＝－得＝３－，

在同一坐标系中做出，

＝３－的图象，

如图３所示．可观察两图象的交点的横坐标满足１＜＜３．所以选Ｃ．

评注：本题关键是画出函数，＝３－的图象，从而观察交点的横坐标的取值范围．

四、求不等式的整数解

例４ 求不等式－１＜＋３）的所有整数解．

解：设　．在同一坐标系中，作出它们图象．

如图４，两图象的两个交点，一个交点显然在（３，－２）之间，

另一个交点为Ｐ．

由于＝１时，１＋３）－（１－１）＞０

＝２时，２＋３）－（２－１）＜０　　

∴　１＜＜２

　　观察对数曲线在直线上方时，整数的值只有－２，－１，０，１．

评注：本题左边是一个一次函数，右边是一个对数函数，不可能直接求解，充分发挥图像的作用，则可迅速达到求解目的．