苏教版必修13.2.2 对数函数教学设计

对数函数（三）

教学目标：

使学生掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题.

教学重点：

函数单调性、奇偶性证明通法.

教学难点：

对数运算性质、对数函数性质的应用.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

［师］上一节课后，我要求大家预习函数单调性，奇偶性的证明方法，现在，我们进行一下回顾.

1.判断及证明函数单调性的基本步骤：

假设——作差——变形——判断

说明：变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断.

2.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：

①考查函数定义域是否关于原点对称；②比较f(－x)与f(x)或者－f(x)的关系；③根据函数奇偶性定义得出结论.

说明：考查函数定义域容易被学生忽视，应强调学生注意.

［师］接下来，我们一起来看例题

Ⅱ.讲授新课

［例1］判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)＝lg             (2)f(x)＝ln(－x)

分析：首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行.

解：（1）由＞0可得－1＜x＜1

所以函数的定义域为：（－1，1）关于原点对称

又f(－x)＝lg＝lg（）－1＝－lg＝－f(x)

即f(－x)＝－f(x)

所以函数f(x)＝lg是奇函数

评述：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质，说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.

解：（2）由－x＞0可得x∈R

所以函数的定义域为R关于原点对称

又f(－x)＝ln(＋x)＝ln

＝ln＝－ln(－x)＝－f(x)

即f(－x)＝－f(x)

所以函数f(x)＝ln(－x)是奇函数

评述：此题定义域的确定可能稍有困难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，应要求学生掌握.

[例2]（1）证明函数f(x)＝log2(x2＋1)在（0，+∞）上是增函数

（2）问：函数f(x)＝log2(x2＋1)在（－∞，0）上是减函数还是增函数？

分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.

（1）证明：设x1,x2∈(0,+∞)，且x1＜x2

则f(x1)－f(x2)＝log2(x12+1)－log2(x22+1)

∵0＜x1＜x2                          ∴x12+1＜x22+1

又∵y＝log2x在（0，+∞）上是增函数.

∴log2(x12+1）＜log2(x22+1)           即f(x1)＜f(x2)

∴函数f(x)＝log2(x2+1)在（0，+∞）上是增函数.

（2）是减函数，证明可以仿照上述证明过程.

评述：此题可引导学生总结函数f(x)＝log2(x2+1)的增减性与函数y＝x2+1的增减性的关系，并可在课堂练习之后得出一般性的结论.

[例3]求函数y＝log（x2－2x－3）的单调区间.

解：定义域x2－2x－3＞0   解得x＞3或x＜－1

单调减区间是（3，＋∞） 

[例4] 已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围.

解：∵a＞0且a≠1         ∴函数t＝2－ax是减函数

由y＝loga(2－ax)在 [0，1]上x的减函数，知y＝logat是增函数，∴a＞1

由x＝1时，2－ax＝2－a＞0，得a＜2

∴1＜a＜2

Ⅲ.课堂练习

（1）证明函数y＝log (x2+1)在（0，+∞）上是减函数；

（2）判断函数y＝log (x2+1)在（－∞,0）上的增减性.

证明：（1）设0＜x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)＝log (x12+1)－log (x22+1)＝log

∵0＜x1＜x2，∴0＜x12＜x22，    ∴＜

而logx是减函数    ∴log＞log＝log1＝0

∴f(x1)－f(x2)＞0        即f(x1)＞f(x2)

∴函数y＝ log (x2+1)在（0，+∞）上是减函数

（2）设x1＜x2＜0，则f(x1)－f(x2)＝ log (x12+1)－log (x22+1)

∵x1＜x2＜0，∴x12＞x22＞0

而函数y＝ logx在（0，+∞）上是减函数.

∴log (x12+1）＜log (x22+1)      即f(x1)＜f(x2)

∴y＝ log (x2+1)在（－∞，0）上是增函数.

Ⅳ.课时小结

［师］通过本节学习，大家能进一步熟悉对数函数的性质应用，并掌握证明函数单调性，奇偶性的通法，提高数学应用的能力.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P70 4，5，8

（二）补充

1.求y＝log0.3(x2－2x)的单调递减区间.

解：先求定义域：由x2－2x＞0,得x(x－2)＞0

∴x＜0或x＞2         ∵函数y＝log0.3t是减函数

故所求单调减区间即t＝x2－2x在定义域内的增区间.

又t＝x2－2x的对称轴为x＝1

∴所求单调递减区间为（2，+∞）

2.求函数y＝log2(x2－4x)的单调递增区间

解：先求定义域：由x2－4x＞0得x(x－4)＞0

∴x＜0或x＞4           又函数y＝log2t是增函数

故所求单调递增区间为t＝x2－4x在定义域内的单调递增区间.

∵t＝x2－4x的对称轴为x＝2

∴所求单调递增区间为：（4，+∞）

3. 已知y＝loga (2－ax)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.

解：∵a＞0且a≠1      当a＞1时，函数t＝2－ax >0是减函数

由y＝loga (2－ax)在［0，1］上是x的减函数，知y＝loga t是增函数，

∴a＞1        由x∈［0，1］时，2－ax ≥2－a＞0，得a＜2,     ∴1＜a＜2

当0<a<1时，函数t＝2－ax >0是增函数

由y＝loga (2－ax)在［0，1］上x的减函数，知y＝loga t是减函数，

∴0<a<1        由x∈［0，1］时，2－ax≥2－1＞0， ∴0<a<1

综上述，0<a<1或1＜a＜2