苏教版必修13.2.2 对数函数教案

第二十四课时 对数函数（2）

学习要求

1.复习巩固对数函数的图象和性质；

2.会求一类与对数函数有关的复合函数的定义域、值域等；

3.了解函数图像的平移变换、对称变换、绝对值变换。．

自学评价

1．函数的图象是由函数

的图象向左平移2个单位            得到。

2. 函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位，得到。

3. 函数（）的图象是由函数的图象当时先向左平移 b个单位，再向上平移c 个单位得到; 当时先向右平移| b|个单位，再向上平移c 个单位得到; 当时先向左平移 b个单位，再向下平移|c |个单位得到; 当时先向右平移| b|个  单位，再向下平移|c| 个单位得到。

4.说明：上述变换称为平移变换。

【精典范例】

例1：说明下列函数的图像与对数函数的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间：

(1)； (2)；　

(3) ；(4)

分析：由函数式出发分析它与的关系，再由的图象作出相应函数的图象。

【解】（1）

图象（略）

由图象知：单调增区间为，单调减区间为。

（2）

由图象知：单调增区间为，单调减区间为。

（3）

由图象知：单调减区间为。

（4）

由图象知：单调减区间为。

点评:

（1）上述变换称为对称变换。一般地：

①；

②；

③；

④

（2）练习：怎样由对数函数的图像得到下列函数的图像？

(1)；

(2)；

答案：（1）由的图象先向2左平移1个单位，保留上方部分的图象，并把轴下方部分的图象翻折上去得到

的图象。

（2）的图象是关于轴对称的图象。

例2：求下列函数的定义域、值域：

（1）； （2）； （3）（且）．

分析：这是复合函数的值域问题，复合函数的值域的求法是在定义域的基础上，利用函数的单调性，由内而外，逐层求解。

【解】（1）由得

的定义域为，值域为

（2）由得，的定义域为

     由，令,则，

的值域为

（3）由得，即定义域为

设则

当时在上是单调增函数，的值域为

当时在上是单调减函数，的值域为

点评: 求复合函数的值域一定要注意定义域。

例3：设f (x)＝lg(ax2－2x＋a),

  (1) 如果f (x)的定义域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围；

  (2) 如果f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围．

 【解】(1) ∵f (x)的定义域是(－∞, ＋∞),

  ∴ 当x∈(－∞, ＋∞)时,都有ax2－2x＋a>0, 即满足条件a>0, 且△<0, 4－4a2<0, ∴a>1.

  (2) ∵f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，即当x在定义域内取值时，可以使y∈(－∞, ＋∞).

  要求ax2－2x＋a可以取到大于零的一切值，∴ a>0且△≥0 (4－4a≥0)或a＝0,

  解得0≤a≤1.

点评:第一小题相当于ax2－2x＋a>0,恒成立，；

第二小题是要ax2－2x＋a 能取到大于零的一切值，两题都利用二次函数的性质求解，要能正确区分这两者的区别。

追踪训练一

1. 比较下列各组值的大小：

（1），；       

（2），，；

2.解下列不等式：

（1）    （2）

3.画出函数与的图象，并指出这两个函数图象之间的关系。

答案：1。（1）；

（2）

2．（1）  （2）

3．图象略函数的图象向右平移2个单位得到的图象。

【选修延伸】

例4: 已知，比较，的大小。

[分析]：由条件可得：

；

所以，，则。

[变式]：已知，则，的大小又如何？

【解】∵，

  ∴，

当，时，得，

∴， ∴．

当，时，得，

∴， ∴．

当，时，得，，

∴，， ∴．

综上所述，，的大小关系为或或

思维点拔：

对于不同底的对数式，一般的方法是转化为同底的对数式，然后再利用对数函数的单调性求解，此类题目也可以用对数函数的图象的分布特征求解。数形结合是解决函数问题的重要思想方法。

追踪训练二

1比较下列各组值的大小．

 ，，

答案：