苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数3.2.2 对数函数教案设计

　　　对数函数中的数学思想

对数函数中蕴含着丰富的数学思想方法，解题时若能充分运用这些数学思想方法，常可使许多问题获得简洁巧妙的解决．

一、数形结合思想 

例1 方程的实数解有（　　　）

Ａ．０个　　   Ｂ．１个　　　 

Ｃ．２个　　　Ｄ．３个

解：令　，．

在同一坐标系中，分别画出两个函数图象．

如图２所示，两个函数图象只有一个交点，

所以方程有一个解．故选Ｂ．

评注：此方程属于超越方程．没有其直接解法，

利用数形结合可从图象上观察到两函数图象的交点个数，从而推出方程解的个数．关键是较准确做出两函数图象．

二、方程思想

例２　设，，试用表示．

分析：直接用表示显然困难，观察题设特点，可通过变形将看作未知数，构造关于的方程组，解方程组求解．

解：＝，

＝，

∴，　解之得．

评注：通过分析数学问题中的已知与未知之间的等量关系，从而建立方程（组）或者构造方程，通过解方程（组）或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程与函数密切相关，对于函数，当＝０时，就转化为方程＝０．

三、分类讨论思想

例３　求函数，且的定义域与值域．

解：∵－＞０，　∴＞．

当＞１时，＜１，则的定义域为；当０＜＜１时，＞１，则的定义域为．

∵　＞０，　∴　０＜－＜．

当＞１时，，函数的值域为；当０＜＜１时，，函数的值域为．

综上所述，当＞１时，函数的定义域与值域均为；当０＜＜１时，函数的定义域与值域均为．

评注：求解指数函数、对数函数问题时，要养成关注底数的好习惯，若底数含有字母，就需要分两种情况进行讨论，这一点也是高考的关注点．

四、转化思想

例４若＝，则（　　　）

　　Ａ．　　　　　　　　Ｂ．

　　Ｃ．　　　　　　　　Ｄ．

分析：直接比较无法判断，可将其根据对数的性质转化为相同底数的对数，根据其单调性求解．

解：∵＝，

又∵，，

∴．

又∵　函数＝在（０，）是增函数，

∴，　即，故选Ｃ．

评注：有关对数、指数大小比较问题，常常将问题转化，有时需转化为同底数的指数式、对数式，有时根据问题的需要将指数式转化为对数式，或者将对数式转化为指数式后再运算，这正是数学中转化思想的具体体现．转化思想是中学重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用的目的．

五、整体换元思想

例５ 设对所有实数，不等式，求实数的取值范围．

分析：观察不等式的结构特点，有些局部地方重复出现，不妨换元，是复杂的不等式问题变为熟知的一元二次不等式问题．

解：设，则原不等式化为　　①

∵时，不等式恒成立，但当时，①式变为，即与条件

　不符，　∴．

　当时，①式对恒成立，则

　解得，∴，即，　∴

　解得，故的取值范围是（０，１）．

评注：本题利用整体换元的思想方法起到了沟通问题的条件和结论的中介作用，并使运算得以简化，令人耳目一新．

对数函数图像应用举隅

对数函数图像是对数函数的一种直观的表达形式，形象地显示了对数函数的性质。为研究它的数量关系提供了“形”的直观性，对数函数图像是探求解决与对数函数有关的数学问题的常用方法、是获得问题解决的一个重要途径。

1.利用图像求参数的值

例1．已知函数的图像如图所示，求实数、的值。

分析：由函数图像可知，函数的图像经过两点、，所以点的坐标应该适合函数的解析式。

解：由图像可知，函数的图像过点与点，所以得方程与，解出，。

    点评：已知点在函数图像上时，常将点的坐标代入函数的解析式，通过列方程（组）找到参数之间的等量关系。

2.利用图像比较实数的大小

例2．已知，，试确定实数和的大小关系。

分析：要确定实数和（）的大小关系，可以考虑底数的大小对函数值增大的影响，如、的大小与底数2、4有什么关系？

解：在同一直角坐标系中作出函数与的图像，再作的直线，可得。

点评：不同底的对数函数图像的规律是：①底数都大于1时，底数大图像低（即在的部分底越大图像就越接近轴）②底数都大于0小于1时，底数大图像高（即在的部分底越大图像就越远离轴）。

本例也可以将两个对数转化为同底的对数来考虑：∵，即＞，又，∴＞0，∴。

3.利用图像解决有关的不等式

例3．求正数的取值范围，使。

分析：作出函数与图像，考查正数为何值时函数的图像在函数的图像的下方。

解：在同一直角坐标系中作出函数与的图像，如图，两图像交点的横坐标为2，所以使成立的正数的取值范围是。

点评：超越不等式常常利用数形结合的方法求解。

例4．已知f(x)=|lgx|,且0＜a＜b＜c,若f(b)＜f(a)＜f(c),则下列一定成立的是（    ）

A.a＜1,b＜1,且c＞1         B.0＜a＜1,b＞1且c＞1

C.b＞1,c＞1                D. c＞1且＜a＜1,a＜b＜

分析：画出y=|lgx|的图像，如图，f(x)在（0，1）内是减函数，在（1，+∞）上为增函数。

解：画出y=|lgx|的图像，因为f(a)＜f(b)＜f(c),所以c＞1且＜a＜1,a＜b＜。所以选D。

点评：本题让我们进一步体会了数形结合思想，体会了函数图像在函数单调性问题中的灵活应用。

4.利用图像判断方程根的个数

例5．已知关于的方程，讨论的值来确定方程根的个数。

分析：作出函数与的图像，通过考查两函数图像的交点个数，来确定方程根的个数。

解：因为在同一直角坐标系中作出函数与的图像，如图可知：①当时，两个函数图像无公共点，原方程根的个数为0个；

②当时，两个函数图像有一个公共点，原方程根的个数为1个；

③当时，两个函数图像有两个公共点，原方程根的个数为2个。

点评：学会利用对数函数的图像，根据平移、对称的变换作出较复杂函数的图像。运用数形结合的数学思想，常常能将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题形象化、直观化，使问题得到顺利的解决。