高中数学苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数3.2.2 对数函数教案

对数函数

教学任务：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；

（2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

（3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．

教学重点：掌握对数函数的图象和性质．

教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．

教学过程：

一、   引入课题

1．（知识方法准备）

 学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？

设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质．

   对数的定义及其对底数的限制．

设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备．

2．（引例）

教材P81引例

处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：

  然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数” ．（进而引入对数函数的概念）

二、   新课教学

（一）对数函数的概念

 1．定义：函数，且叫做对数函数（logarithmic function）

其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

 注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

 对数函数对底数的限制：，且．

（二）对数函数的图象和性质

问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

探索研究：

在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）

（1）

（2）

（3）

（4）

  类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：

  思考底数是如何影响函数的．（学生独立思考，师生共同总结）

  规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．

三、例题导析

例1．求函数的定义域．

解： 即  ∴函数的定义域为

点评：求函数的定义域，往往可转化为解不等式．

例2．比较下列各组数的大小，并说明理由．

（1）．    （2）    （3）

解：（1）是减函数，

   （2）是增函数，

   （3）

教师点评：本例给出了比较两个对数大小的常用方法：（1）和（2）的解法是利用了对数函

          数的单调性；（3）利用了对数函数的性质。另外，三个数以上比较大小，0和1

          是两把尺度。

例3．求函数 定义域、值域、单调区间．

解：定义域为

  （x＞3或x＜2），由二次函数的图象可知（图象略）

0＜u＜+∞，故原函数的值域为（-∞，+∞）．

原函数的单调性与u的单调性一致．∴原函数的单调增区间为（3，+∞），单调减区间为（－∞，2）．

学生演板：

（1）已知f（x）的图象g（x）=的图象关于直线y=x对称，求的单调减区间．（先求g（x）=的反函数

单调减区间为（0，1]）

例4．设函数

    （1）试判断函数f（x）的中单调性，并给出证明；

    （2）若f（x）的反函数为，证明方程=0有唯一解．

分析：为求单调性，需先求定义域，在定义域中利用单调性的定义作出判断．（1）可先请同学用数字试一下，以便做到心中有数．

解：（1）由 解得函数f（x）的定义域为（-1，1）．

设则

=

又

又（1+

即

故函数f（x）在区间（-1，1）内是减函数．

（2）这里并不需要先求出f（x）的反函数，再解方程

即是方程的一个解．

若方程还有另一解则又由反函数的定义知

这与已知矛盾．

故方程有唯一解．

教师点评：（1）中用定义证明了单调性，虽较复杂，但很重要，应掌握．可先用数字试探

          一下，以便做到心中有数．（由（2）知函数在定义域上是单调的，因为存在反

          函数）

     （2）中告诉我们并不需要求出反函数，其思维过程，妙用了互为反函数的函数

      定义域和值域之间的关系，既考虑存在性又反证了唯一性，这是一个好题，我

      们甚至可以求解不等式；

       请读者自己完成．

例5．若函数

（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围．

（2）若函数的值域为R，求a的取值范围．

（1）   若函数在上是增函数，求a的取值范围．

解：（1）定义域为R，是指不等式的解集为R，即

（2）值域为R，是指能取遍（0，+∞）中的所有的值．∴只需

即或

（3）在上为减函数且大于0，由图象可知：

教师点评：对数函数的定义域为R，即指不等式的解集为R．值域为R指对数函数的真数

          能取遍所有的正数，不要认为判别式大于或等于0，那么在x轴下面的部分是负

          数似乎不合题意，实质上定义域会排掉x轴下面的负的函数值．要画个图仔细

          研究．在（3）中特别要注意在区间上函数大于0．

例6．已知函数 

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）解关于x的方程

（3）解关于x的不等式：

解：（1）设则

    它的定义域为（-1，1）．

    ∴f（x）为奇函数．

   （2）由f（x）=即得

   （3）由即得：

    （a）当m＞1时，解得：

      （b）当时，  解得：

由（a）、（b）知，当m＞1时，原不等式解集为

教师点评：本题涉及到求函数的表达式，解对数方程，对数不等式．要注意对底数m的讨

          论．