数学必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数3.2.2 对数函数教学设计及反思

第二十三课时  对数函数（1）

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学习要求

1．要求了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系。

2．了解对数函数与指数函数的互为反函数，能利用其相互关系研究问题，会求对数函数的定义域；

3．记住对数函数图象的规律，并能用于解题；

4．培养培养学生数形结合的意识用联系的观点研究数学问题的能力。

自学评价

1．   对数函数的定义：

函数 叫做对数函数(logarithmic function),

定义域是

思考：函数与函数的定义域、值域之间有什么关系？

2. 对数函数的性质为

3. 对数函数的图象与指数函数的图象

关于直线对称。

画对数函数的图象，可以通过作关于直线的轴对称图象获得，但在一般情况下，要画给定的对数函数的图象，这种方法是不方便的。所以仍然要掌握用描点法画图的方法，注意抓住特殊点（1，0）及图象的相对位置。

4.指数函数与对数函数称为互为反函数。

指数函数的定义域和值域分别是对数函数的值域和定义域。

5．一般地，如果函数存在反函数，那么它的反函数，记作

思考：互为反函数的两个函数的定义域和值域有什么关系？

原函数的定义域和值域分别是反函数的值域和定义域。

【精典范例】

例1：求下列函数的定义域

（1）；            

（2） ；  

（3）     

 （4）

[分析]：此题主要利用对数函数的定义域求解。

（1）由得，

∴函数的定义域是；

（2）由得，

∴函数

的定义域是

（3）得

或

∴函数的定义域是

（4）由  得

∴，函数的定义域是

例2：利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小：

（1），；　（2），；

（3），；     （4），，

【解】（1）对数函数在上是增函数，

于是；

（2）对数函数在上是减函数，

于是；

（3）．∵，

  ，

；

（4）∵，

而

∴（1）

点评: 本例是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如1 或0），间接比较上述两个对数的大小。

例3若且，求的取值范围

    （2）已知，求的取值范围；

【解】（1）当时在上是单调增函数，

当时在上是单调减函数，

综上所述：的取值范围为

（2）当，即时

由，  解得：

∴

当，即时

由， 解得：

，此时无解。

综上所述：的取值范围为

点评:本题的关键是利用对数函数的单调性解不等式，一定要注意对数函数定义域。

追踪训练一

1.求函数的定义域，并画出函数的图象。

2. 比较下列各组数中两个值的大小：

（1），；

（2），；

（3），.

（4），，

3.解下列方程：

（1）  （2）

（3）

（4）

4．解不等式：

（1）

（2）

答案：1．略

 2．（1）

（2）

（3）当时，，

      当时，

（4）

3．（1） （2）

（3） （4）

4．（1）  （2）