数学必修13.2.2 对数函数教案设计

对数函数导学案

一、知识点提要

（1）   函数叫对数函数，其定义域为（0，+∞），值域是R．

（2）   结合图象，熟练掌握对数函数的性质．

    （3）熟记以及的图象及相互关系，并通过图象掌握对数的单调性，注意底对图象的影响．

    （4）比较两对数值的大小时，应根据对数函数的单调性，对照对数函数的图象进行判断．

二、重点难点突破

    （1）对数函数与指数函数互为反函数，学习时要互相对照、互相比较，以加深理解．

    （2）记忆对数函数的图象的性质时，应分a＞1和0＜a＜1两种情况．

    （3）注意分界点（1，0），它决定函数值的正负．

三、热点考题导析

例1．求函数的定义域．

解： 即  ∴函数的定义域为

点评：求函数的定义域，往往可转化为解不等式．

例2．比较下列各组数的大小，并说明理由．

（1）．    （2）    （3）

解：（1）是减函数，

   （2）是增函数，

   （3）

教师点评：本例给出了比较两个对数大小的常用方法：（1）和（2）的解法是利用了对数函

          数的单调性；（3）利用了对数函数的性质。另外，三个数以上比较大小，0和1

          是两把尺度。

例3．求函数 定义域、值域、单调区间．

解：定义域为

  （x＞3或x＜2），由二次函数的图象可知（图象略）

0＜u＜+∞，故原函数的值域为（-∞，+∞）．

原函数的单调性与u的单调性一致．∴原函数的单调增区间为（3，+∞），单调减区间为（－∞，2）．

学生演板：

（1）已知f（x）的图象g（x）=的图象关于直线y=x对称，求的单调减区间．（先求g（x）=的反函数

单调减区间为（0，1]）

例4．设函数

    （1）试判断函数f（x）的中单调性，并给出证明；

    （2）若f（x）的反函数为，证明方程=0有唯一解．

分析：为求单调性，需先求定义域，在定义域中利用单调性的定义作出判断．（1）可先请同学用数字试一下，以便做到心中有数．

解：（1）由 解得函数f（x）的定义域为（-1，1）．

设则

=

又

又（1+

即

故函数f（x）在区间（-1，1）内是减函数．

（2）这里并不需要先求出f（x）的反函数，再解方程

即是方程的一个解．

若方程还有另一解则又由反函数的定义知

这与已知矛盾．

故方程有唯一解．

教师点评：（1）中用定义证明了单调性，虽较复杂，但很重要，应掌握．可先用数字试探

          一下，以便做到心中有数．（由（2）知函数在定义域上是单调的，因为存在反

          函数）

     （2）中告诉我们并不需要求出反函数，其思维过程，妙用了互为反函数的函数

      定义域和值域之间的关系，既考虑存在性又反证了唯一性，这是一个好题，我

      们甚至可以求解不等式；

       请读者自己完成．

例5．若函数

（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围．

（2）若函数的值域为R，求a的取值范围．

（3）   若函数在上是增函数，求a的取值范围．

解：（1）定义域为R，是指不等式的解集为R，即

（2）值域为R，是指能取遍（0，+∞）中的所有的值．∴只需

即或

（3）在上为减函数且大于0，由图象可知：

教师点评：对数函数的定义域为R，即指不等式的解集为R．值域为R指对数函数的真数

          能取遍所有的正数，不要认为判别式大于或等于0，那么在x轴下面的部分是负

          数似乎不合题意，实质上定义域会排掉x轴下面的负的函数值．要画个图仔细

          研究．在（3）中特别要注意在区间上函数大于0．

例6．已知函数 

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）解关于x的方程

（3）解关于x的不等式：

解：（1）设则

    它的定义域为（-1，1）．

    ∴f（x）为奇函数．

   （2）由f（x）=即得

   （3）由即得：

    （a）当m＞1时，解得：

      （b）当时，  解得：

由（a）、（b）知，当m＞1时，原不等式解集为

教师点评：本题涉及到求函数的表达式，解对数方程，对数不等式．要注意对底数m的讨

          论．

四、课堂练习

    （1）求函数f（x）=的定义域.

（定义域为

（2）定义在全体实数上的奇函数要使求x的取值范围．

（4）   若在区间[0，1]上是减函数，求a的取值范围．（（1，2））

五、高考试题

（1）（2001年上海，1）设函数 ，则满足的x值为    ．

答案：3

分析：当时，值域为当时值域为（0，+∞）

（2）（2001年上海，4）设集合A=

     则的元素个数为      ．

答案：1

分析：集合A：

      而x=5时，的元素个数为1．

（3）（93年全国文，25）解方程：

答案：

分析：解得：

点评：本题主要考查对数方程的解法，属常规题，对等价转化思想有较高的要求．

六、考点检测

（1）若1＜x＜2，则下列不等式中正确的是（    ）

（A）（B）（C）

（D）

（2）函数的值域为（   ）

（A）    （B）R            （C）        （D）

（3）函数在上恒有|y|＞1，则a的取值范围是         ．

（4）设a、b为正数，若有解，则的取值范围是      ．

（5）   已知函数在有上意义，求实数C的取值范围．

（6）设的反函数是 （其中a＞0，且a≠1）

（a）求，并求出它的定义域．

（b）设若 ），求a的取值范围．

参  考  答  案

（1）B  （2）A  （3）  （4）或（5）  （6）（a）当a＞1时，当0＜a＜1时，

（b）