苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.3 幂函数教案

幂函数

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学习要求

1．了解幂函数的概念，能画出一些简单幂函数图象并了解它们的图形特征；

2．掌握判断某些简单函数奇偶性的方法；

     3．培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想，化归转化能力的培养．

自学评价

1．幂函数的性质：

（1）都过点；

（2）任何幂函数都不过 第四 象限；

（3）当时，幂函数的图象过 原点 ．

2．幂函数的图象在第一象限的分布规律：

（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 下 到 上 分布；

（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在

 第一 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于 原点 对称．

【精典范例】

例1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1） （2）

（3）（4）（5）

分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．

【解】（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增． 

（2）定义域，值域，偶函数，在上单调递增，在上单调递减．

（3）定义域，值域，偶函数，非奇非偶函数，在上单调递增．

（4）定义域，值域，奇函数，在上单调递减，在上单调递减．

（5）定义域，值域，非奇非偶函数，在上单调递减．

点评: 熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础．

例2：将下列各组数用小于号从小到大排列：

（1）

（2） 

（3）

分析：（1）底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了．

    （2）观察发现，这三个数指数可以统一，底数可以化为正数，故可利用幂函数的单调性比较大小．

【解】（1）  

（2）

（3）

点评: 比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．

例3：已知的图象如图所示：

则，，，的大小关系是：

分析：对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：正抛物负双曲，大竖直小横铺．即

【解】有幂函数的性质，当自变量时，幂指数大的函数值比较大，故有

点评: 幂函数在第一象限内的图象均过点，在区间 上，值越小，图象越靠近轴．

追踪训练一

1. 图中曲线是幂函数在第一相限的图象，已知取， 四个值，则相应与曲线、、、的值依次为（  B   ）

 ，，，

，，，

，，，

，，，

2.给出下列四个函数：；；；，其中定义域和值域相同的是 （2）（3）       （写出所有满足条件的函数的序号）

3. 比较下列几组数大小

（1），，；  

（2），，．

解：（1）∵幂函数在上单调递增，且，

∴；

（2），，，

    ∵幂函数在上单调递减，且，，

  ∴即．

【选修延伸】

一、幂函数性质的运用

例4: 已知，求的取值范围．

分析：数形给合思想的运用．由于不等式的左右两边的幂指数都是，因此可借助于幂函数的图象性质来求解．

【解】因为在和上为减函数，时，；时，．原不等式可以化为

（1）（2）

（3）

（1）无解；（2），（3）

所以所求的取值范围为

{}

点评:利用函数图象特征了解函数的性质，利用函数性质去解不等式．

二、幂函数图象的性质特征

 例5：已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．

分析：幂函数图象与轴、轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合，便可逐步确定的值．

【解】 ∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，

∴，∴；

∵，∴，又函数图象关于原点对称，

∴是奇数，∴或．

点评: 掌握幂函数图象的特征，是顺利解题的关键．

思维点拔：

（1）比较同指数幂的大小，利用幂函数的单调性；

（2）根据幂函数的图象，判断指数的大小，或根据幂函数的指数的大小，描述其图象的特征；

（3）判断幂函数的奇偶性，宜先将分数指数化为根式的形式．

追踪训练二

1．设满足，下列不等式中正确的是         （ C  ）

A．B．C． D．

2．函数在第二象限内单调递增，则的最大负整数是．

3．求函数的值域．

答案：