高中苏教版3.3 幂函数教学设计及反思

这是一份高中苏教版3.3 幂函数教学设计及反思，共5页。教案主要包含了学习目标，课前导学，问题情境，课堂活动，思路分析，解后反思，课后提升等内容，欢迎下载使用。
第29课时 幂函数（1）【学习目标】1．了解幂函数的概念，会画出幂函数的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质；2．了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；3．进一步体会数形结合的思想．【课前导学】【问题情境】分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（1）边长为的正方形面积，是的函数；（2）面积为的正方形边长，是的函数；（3）边长为的立方体体积，是的函数；（4）某人内骑车行进了1，则他骑车的平均速度，这里是的函数；（5）购买每本1元的练习本本，则需支付元，这里是的函数. 上述五个函数都可以写成      的形式．【课堂活动】一．建构数学：【定义】一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．【试试】判断下列函数哪些是幂函数：①；②；③；④．注意：幂函数与指数函数的区别．例1 写出下列函数的定义域，指出它们的奇偶性，并画出它们的图象，观察这些图象，看看有什么共同点？　　 ⑴　y＝；⑵　y＝；⑶　y＝；⑷　y＝．【思路分析】分数指数幂可以与根式相互转化．把各函数解析式先化成根式形式即可．解：⑴；⑵；⑶y=；⑷．函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．⑴的定义域为，⑵⑶⑷的定义域都是R；其中⑴既不是奇函数也不是偶函数，⑵⑷是奇函数，⑶是偶函数．它们的图象都经过点和，且在第一象限内函数图象自左而右呈上升趋势，即函数在单调递增． 例2 仿照例1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象，看看有什么共同点？　　 ⑴　y＝x－1；⑵　y＝x－2；⑶　y＝；⑷　y＝．【思路分析】 先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式．解： ⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；⑴⑵⑷的定义域都是，⑶的定义域是；根据函数奇偶性的定义可得⑴⑷是奇函数，⑵是偶函数，⑶既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点，且在第一象限内函数图象自左向右呈下降趋势，并且以两坐标轴为渐近线．反应出这些函数在上单调递减．【解后反思】通过例1和例2的解决过程，体现数学学习的过程是一个建立在经验基础上的主动建构的过程，让学生在合作中获取知识．【探究】幂函数的图象与性质【问题】作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 从图象分析出幂函数所具有的性质.解：图像略．观察图象，总结填写下表： 定义域     值域     奇偶性     单调性     定点 【拓展】通过以上例子试总结幂函数的一般性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）．    特别地，当＞1时，∈（0，1），的图象都在图象的下方，越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）    当0<α＜1时，∈（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）． （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.二．应用数学：例3 讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性与单调性：⑴ ；（2） ．【思路分析】 根据幂函数的性质讨论定义域、奇偶性、单调性．解 ： ⑴ y＝x5的定义域是(－∞，＋∞)，值域也是(－∞，＋∞)，是奇函数， ∵5＞1，∴y＝x5在(－∞，＋∞)上是增函数．⑵∵y＝x＝，∴定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，是偶函数，∵－＜0，∴y＝x在(－∞，0)是增函数，在(0，＋∞)，是减函数．【解后反思】由例3让学生对幂函数性质的认识有一个提升．例4 比较下列各题中两个值的大小．   ⑴(－1.5)与(－1.7) 　 ⑵   3.14与π   ⑶(－5)与(－6)     ⑷   3与2【思路分析】比较两数的大小可构造一个函数，考虑这个函数的单调区间．【解法】 ⑴考察函数y＝x，∵＞0  ，∴y＝x在(－∞，0)上是减函数．又∵－1.5＞－1.7，　∴(－1.5)＜(－1.7) ．⑵考察函数y＝x，∵－＜0  ∴y＝x在(0，＋∞)上是减函数．又∵3.14＜π， ∴3.14＞π．⑶(－5)＝－5，(－6)＝－6，又5＞6　∴－5＜－6，∴(－5) ＜(－6)．⑷∵3＝9，2＝8，又9＞8  ∴3＞2．【解后反思】学生学习了幂函数以后,关键还在于对其性质要会灵活运用,例4是做一个基本的铺垫．三．理解数学：1．求函数的定义域．答案：2． 已知是幂函数，求m，n的值.解：由题意可得：m2 + 2m – 2 = 1且2n – 3 = 0，解得或，．【解后反思】表达式y =(x∈R)的要求比较严格，系数为1，底数是x，∈R为常数，如，y = 1 = x0为幂函数，而如y = 2x2，y = (x – 1)3等都不是幂函数.3．比例下列各组数的大小：（1）；（2）(–2)–3和(–2.5)–3；（3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1；（4）.解:（1），函数在 (0, +∞)上为增函数，又，则，从而.（2）幂函数y = x–3在(–∞, 0)和(0, +∞)上为减函数，又∵–2＞–2.5，∴(–2)–3＜(–2.5)–3.（3）幂函数y = x–0.1在(0, +∞)上为减函数，又∵1.1＜1.2，∴1.1–0.1＞1.2–0.1.（4）＞= 1；0＜＜= 1； ＜0，∴＜＜.【解后反思】比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法（即插值法）进行分组，常数0和1是常用的“桥梁”.【课后提升】1. 下列命题中正确的是   （4）     ．（1）当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；（2）幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；（3）若幂函数y＝xn的图象关于原点对称，则y＝xn在定义域内y随x的增大而增大；（4）幂函数的图象不可能在第四象限．2. 下列函数中，定义域为(0，＋∞)的函数为     （2）          ．（1）y＝x；（2）y＝x；（3） y＝x；（4） y＝x3．3. 下列函数中是幂函数的是  （1）  （2）（4）         ．（1）y＝；（2）y＝x；（3）y＝2x；（4）y＝x－1．4. 已知幂函数的图象过，试求出这个函数的解析式．答案：5. 已知函数f(x)＝(a－1)·x当a＝　－2　　时，f(x)为正比例函数；当a＝　0或－1　　时，f(x)为反比例函数；当a＝　　　时，f(x)为二次函数；当a＝　2　　时，f(x)为幂函数．(提示：当f(x)为正比例函数时，，即a＝－2；当f(x)为反比例函数时，，即a＝0或a＝－1；当f(x)为二次函数时，，即a＝；当f(x)为幂函数时，a－1＝1，即a＝2)6. 函数y＝x a(a∈Q)的图象，当0＜x＜1时，在直线y＝x的上方；当x＞1时，在直线y＝x的下方，则a的取值范围是　[－2，3　　．(提示：即2≤x＜37．若(a＋1)＜(3－2a)，试求a的取值范围．解：由幂函数的性质，有三种可能情况：或或解得：a∈(－∞，－1)∪(，)． 8．m为怎样的值时，函数f(x)＝(mx2＋4x＋m＋2)＋(x2－mx＋1)0的定义域是R？解： 由① m＞－1，由②△2＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2，综上：－1＜m＜2． www.gkxx.com