数学苏教版3.3 幂函数教案设计

幂函数

考纲解读：

1．理解幂函数的概念，熟悉幂函数的解析式，会画简单幂函数的图象；

2．熟练掌握幂函数(为有理数)的性质和图象之间的关系；

3．理解当与时幂函数在第一象限的图象和增减性，并运用它进一步分析解决有关幂函数的问题；

重难点：

1、掌握常见的幂函数的图象和性质，解决有关问题．

2、幂函数的图象和性质的总结，熟练运用幂函数的性质解决相关问题，特别是含参数讨论的一类问题．

考点梳理

1．幂函数的概念：一般地，我们把形如    的函数称为幂函数，其中     是自变量，      是

常数；注意：幂函数与指数函数的区别．

2.幂函数的性质：

（1）幂函数的图象都过点           ；

（2）当时，幂函数在上     ；当时，幂函数在上           ；

（3）当时，幂函数是          ；当时，幂函数是           ．

3．幂函数的性质：

（1）都过点         ；

（2）任何幂函数都不过         象限；

（3）当时，幂函数的图象过         ．

4．幂函数的图象在第一象限的分布规律：

（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从      到         分布；

（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在       象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于       轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限

关于         对称．

热点题例

例1、已知幂函数（）是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，求函数的解析式．

变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：

（1） （2） （3）（4）（5）

例2、比较下列各组中值的大小：

（1）；

（2），．

（3）

（4）0.8，0.9

变式训练2：

已知函数满足，且f（8）=4，则_________（填“＞、=、＜”）．

例3、已知函数（m∈Z）为偶函数，且f（3）<f（5），求m的值，并确定f（x）的解析式．

变式训练3：

讨论函数在时，随着x的增大其函数值的变化情况．

随堂训练

1、(2010年江苏无锡模拟)幂函数的图象经过点，则满足的的值是__________．

2、(2010年安徽蚌埠质检)已知幂函数的部分对应值如下表：

则不等式的解集是__________．

3、(2010年广东江门质检)设，函数，.当时，的值域为__________．

4、证明幂函数在上是增函数．

5、已知函数，且

（1）求的值；

（2）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为。若存在，求出这个的值；若不存在，说明理由。

思维方法总结

1、幂函数如果指数是负数，一定要先转化为正数（倒数关系）；

2、如果指数是分数，要转化为根式。

3、幂函数和我们前面所学的指数函数和对数函数不同，它的性质不能一概而论。

4、求幂函数定义域的关键是：将分数指数幂写成根式

参考答案

例1、解析：∵是幂函数，∴，解得t＝－1，t＝0或t＝1，

∴当t＝０时，，是非奇非偶函数，不满足条件．当t＝1时，是偶函数，但在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．当时，满足题设．

综上所述，实数t的值为－1，所求解析式为．

评注：涉及求与幂函数有关的参数问题，掌握幂函数的概念和性质是解题的关键．解含参问题有时还应注意分类讨论．

变式训练1：解：（1）定义域，值域，奇函数，在上单调递增． 

（2）定义域，值域，偶函数，在上单调递增，

在 上单调递减．

（3）定义域，值域，偶函数，非奇非偶函数，在上单调递增．

（4）定义域，值域，奇函数，在上单调递减，在上单调递减．

（5）定义域，值域，非奇非偶函数，在上单调递减．

例2、解析：（1）∵幂函数在［０，＋∞）上为增函数，又0.7＞0.6，

∴；

（2）∵幂函数在（０，＋∞）上为减函数，又2.2＞1.8，

∴>．

（3），．

∵幂函数在（０，＋∞）上单调递减，且0.7＜＜1.21，

∴．

∴

（4）∵＞0，∴幂函数在（０，＋∞）上是增函数．

又0.8＜0.9，∴0.8＜0.9．

又0＜0.9＜1，指数函数在（0，＋∞）上是减函数，且＞，∴0.9＜0.9．

综上可得0.8＜0.9．

变式训练2：解析：的原型函数是（为常数），

又f（8）=4，

∴，∴．

于是，显然该函数是偶函数，且在区间（０，＋∞）上是增函数，在（－∞，０）上是减函数，．

例3、分析：函数（m∈Z）为偶函数，已限定了必为偶数，又m∈Z，f（3）<f（5），只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定f（x）的解析式．

　　解：∵f（x）是偶函数，∴应为偶数．

　　又∵f（3）<f（5），即，

整理，得．

∴，解得．

　　又∵m∈Z，∴m=0或1．

　　当m=0时，为奇数（舍去）；

当m=1时，为偶数．

　　故m的值为１，．

变式训练3：解：（１）当，即或时，为常函数；

　　（２）当，即或时，此时函数为常函数；

　　（３）当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；

　　（４）当，即或时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；

　　（５）当，即时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；

　　（６）当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小．

随堂训练

1、解析：设幂函数为，图象经过点，

则

2、解析：由表知

故

3、解析：当时，；当时，，根据指数函数与幂函数的单调性， 是单调递增函数，，所以时， 的值域为

4、证明：设，

则

   即

此函数在上是增函数

5、解：（1）∵，∴，即，

∵，∴。

 （2），  

  当，时，

  当时，∵，∴这样的不存在。

  当，即时，，这样的不存在。

      综上得， 。

（2）或解： 抛物线开口向下。

或    解得                  

此时；     

所以函数的值域是，则