数学必修13.3 幂函数教案

幂函数

一、选择题

1．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是(　　)　

A．单调递减的偶函数  B．单调递减的奇函数

C．单调递增的偶函数  D．单调递增的奇函数

解析：∵f(x)＝x3(x∈R)，∴y＝f(－x)＝－x3在R上是单调递减的奇函数．

答案：B

2．(2009·安徽蚌埠)已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：

则不等式f(|x|)≤2的解集是(　　)

A．{x|－4≤x≤4}     B．{x|0≤x≤4}

C．{x|－≤x≤}   D．{x|0＜x≤}

解析：由表知＝α，∴α＝，∴f(x)＝.

∴≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.

答案：A

3．如果幂函数y＝(m2－3m＋3) 的图象不过原点，则m的取值是(　　)

A．－1≤m≤2    B．m＝1或m＝2

C．m＝2     D．m＝1

解析：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数．

∴幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2中的系数m2－3m＋3＝1，∴m＝2或1.

又y＝(m2－3m＋3) 的图象不过原点，

∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或1.

答案：B

4．(2009·辽宁大连调研)幂函数y＝(m2－m－1) ，当x∈(0，＋∞)时为减函数，

则实数m的值为(　　)

A．m＝2        B．m＝－1

C．m＝－1或2    D．m≠

解析：因为y＝(m2－m－1) 为幂函数，

所以m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.

当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x-3在(0，＋∞)上为减函数．

当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1 (x≠0)在(0，＋∞)上为常数函数，应舍去．

∴m＝2满足题意．故选A.

答案：A

二、填空题

5．设函数f1(x)＝，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1{f2[f3(2 007)]}＝________.

解析：f1{f2[f3(x)]}＝f1[f2(x2)]＝f1(x-2)＝＝x－1，∴f1{f2[f3(2 007)]}＝2 007－1.

答案：2 007－1

6．(2010·江苏无锡调研)幂函数y＝f(x)的图象经过点，则满足f(x)＝27的

x的值是________．

解析：设幂函数为y＝xα，图象经过点，则－＝(－2)α，∴α＝－3.∵x－3＝27，

∴x＝.

答案：

7．(2009·江苏)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，

n的大小关系为________．

解析：∵0＜＜1，∴指数函数f(x)＝ax在定义域内为减函数，又f(m)＞f(n)，

∴m＜n.

答案：m＜n

三、解答题

8．求函数y＝ (m∈N)的定义域、值域，并判断其单调性．

解：∵m2＋m＋1＝m(m＋1)＋1必为奇数，

且m2＋m＋1＝2＋＞0，∴函数的定义域为R，类比y＝x3的图象可知，所求函

数的值域为R，

在(－∞，＋∞)上所求函数是单调递增函数．

9．已知f(x)＝ (n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式

f(x2－x)＞f(x＋3)．

解：由条件知＞0，

即－n2＋2n＋3＞0，解得－1＜n＜3.

又n＝2k，k∈Z，∴n＝0, 2.

当n＝0, 2时，f(x)＝.∴f(x)在R上单调递增．

∴f(x2－x)＞f(x＋3)转化为x2－x＞x＋3.

解得x＜－1或x＞3.

∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．

10．已知幂函数y＝x的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求整数n

的值并画出该函数的草图．

解：∵函数图象与x、y轴都无公共点．

∴n2－2n－3≤0⇒－1≤n≤3.

又∵n为整数，∴n∈{－1, 0, 1, 2, 3}．

又图象关于y轴对称，∴n2－2n－3为偶数．

∴n＝－1, 1, 3.

当n＝－1和3时，n2－2n－3＝0，y＝x0图象如图(1)所示；

当n＝1时，y＝x－4，图象如图(2)所示．

1．(★★★★)

幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设

点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等

分，即有BM=MN=NA.那么，αβ=(　　)

A．1  B．2  C．3  D．无法确定

解析：解法一：由条件得M，N，由一般性，可得＝α，＝β，即

α＝，β＝.所以αβ＝＝=1.

解法二：由解法一，得，则，即αβ＝1.

答案：A

2．(2010·改编题)已知函数f(x)＝的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，

在(0，＋∞)上是减函数，则最小的自然数a等于________．

解析：∵f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠0}

∴1－a<0，即a>1.

又∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数

∴1－a＝－2，即a＝3.

答案：3