高中数学苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用3.4.1 函数与方程教学设计

函数与方程

一、选择题（本题每小题5分，共60分）

1 设直线 ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足（   ）  

 A   B   C   D 

2  设P是的二面角内一点，垂足，则AB的长为（    ）

    A          B         C         D 

3   若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是（    ）

   A  4005        B  4006        C  4007         D  4008

4  每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有   （    ）

 A  2种    B  3种        C  4种            D  5种

5  设函数，区间M=[a，b](a<b)，集合N={}，则使M=N成立的实数对(a，b)有   （    ）

 A  0个      B  1个          C  2个           D  无数多个

6  设是函数的反函数，若，则的值为（    ）

 A  1 B  2 C  3 D 

7  把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B  C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为              （    ）

 A  90° B  60° C  45° D  30°

8  若函数f(x)=(1－m)x2－2mx－5是偶函数，则f(x)（    ）

 A  先增后减 B  先减后增 C  单调递增 D  单调递减

9  定义在（－∞，+∞）上的奇函数f(x)和偶函数g(x)在区间（－∞,0上的图像关于x轴对称，且f(x)为增函数，则下列各选项中能使不等式f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)成立的是（    ）

 A  a>b>0 B  a<b<0 C  ab>0 D  ab<0

10  △ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边  如果a、b、c成等差数列，∠B=30°,△ABC的面积为，那么b=（    ）

 A   B   C   D 

11  两个正数a、b的等差中项是5，等比中项是4。若a＞b，则双曲线的离心率e等于（    ）

A         B        C        D 

12  天文台用3  2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元（n∈N*），使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少）为止，一共使用了（    ）

 A  800天  B  1000天  C  1200天  D  1400天

二、填空题（本题每小题4分，共16分）

13  若的展开式中常数项为－20，则自然数n＝           

14  x0是x的方程ax=logax(0<a<1)的解，则x0,1,a这三个数的大小关系是            

15  已知函数互为反函数，又的图象关于直线对称，若___       

_______              

16  已知矩形的边平面现有以下五个数据：

当在边上存在点，使时，则可以取_____________  （填上一个正确的数据序号即可）

三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17  （本小题满分12分）已知集合A={x|x2－ax+a2－19=0}，集合B={x|log2(x2－5x+8)=1}，集合C={x|m=1,m≠0，|m|≠1}满足A∩B, A∩C=，求实数a的值 

18  （本小题满分12分）有一组数据的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为11 

   （1）求出第一个数关于的表达式及第个数关于的表达式;

   （2）若都是正整数，试求第个数的最大值，并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据 

19  （本小题满分12分）某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售  第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为11  8万件  第二年，商场开始对该商品征收比率为p%的管理费（即销售100元要征收p元），于是该商品的定价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件  

   （1）将第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；

   （2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p%的范围是多少？

   （3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？

20  （本小题满分12分）求函数在[0，2]上的最大值和最小值 

21  （本小题满分12分）已知二次函数f(x)=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：

f(x－1)=f(3－x)且方程f(x)=2x有等根 

   （1）求f(x)的解析式；

   （2）是否存在实数m,n（m<n），使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n]，如果存在，求出m,n的值；如果不存在，说明理由 

22  （本小题满分14分）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn 

   （1）若首项，公差，求满足的正整数k；

   （2）求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立 

答 案

一、选择题（每小题5分，共60分）

(1)  D (2)  C (3) B (4)  A (5)   A(6)  B (7)  C (8)  B (9)  A (10)  B (11)  C (12)  A

二、填空题（每小题4分，共16分）

(13)   3； (14)   10或10   (15)   ；    (16)   ①或②

三、解答题（共74分，按步骤得分）

17  解：由条件即可得B={2，3}，C={－4，2}，

由A∩B，A∩C=，可知3∈A，2A。

将x=3代入集合A的条件得：a2－3a－10=0      ∴a=－2或a=5

当a=－2时，A={x|x2+2x－15=0}={－5,3},符合已知条件。

当a=5时,A={x|x2－5x+6=0}={2，3}，不符合条件“A∩C”=，故舍去 

综上得：a=－2 

18  解：（1） 依条件得：由得：，又由得：

（2）由于是正整数，故 ，，故当=10时, ，，, 此时，,,,,,,, 

19   解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11  8－p）万件，

年销售收入为（11  8－p）万元，

则商场该年对该商品征收的总管理费为（11  8－p）p%（万元）    

故所求函数为:y=（118－10p）p   

11  8－p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜       

（2）由y≥14，得（118－10p）p≥14  

化简得p2－12p+20≤0，即（p－2）（p－10）≤0，解得2≤p≤10  

故当比率在［2%，10%］内时，商场收取的管理费将不少于14万元    

（3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，

厂家的销售收入为g（p）=（11  8－p）（2≤p≤10）    

∵g（p）=（11  8－p）=700（10+）为减函数，

∴g（p）max=g（2）=700（万元）  

故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元    

20   解：  

化简为  解得

当单调增加；当单调减少 

所以为函数的极大值 

又因为  

所以   为函数在[0，2]上的最小值，为函数

在[0，2]上的最大值 

21  解：(1)∵方程ax2+bx－2x=0有等根，∴△=(b－2)2=0，得b=2。

由f(x－1)=f(3－x)知此函数图像的对称轴方程为x=－=1，得a=－1，

故f(x)=－x2+2x 

(2)∵f(x)=－(x－1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤ 

而抛物线y=－x2+2x的对称轴为x=1，∴当n≤时，f(x)在[m,n]上为增函数。

若满足题设条件的m,n存在，则

即又m<n≤ 

∴m=－2,n=0，这时，定义域为[－2，0]，值域为[－8，0] 

由以上知满足条件的m,n存在,m=－2,n=0 

22   解：（1）当时，   

 由，

 即              又 

 （2）设数列{an}的公差为d，则在中分别取k=1,2,得

 由（1）得

 当

 若成立

 若

    故所得数列不符合题意 

 当 

 若

 若 

 综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：

 ①{an} : an=0，即0，0，0，…；

 ②{an} : an=1，即1，1，1，…；

 ③{an} : an=2n－1，即1，3，5，…，