苏教版必修13.4.1 函数与方程教学设计及反思

函数与方程

一、选择题

1．若函数f(x)＝x2＋2x＋3a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．a＜     B．a＞     C．a≤     D．a≥

解析：由题意，函数f(x)＝x2＋2x＋3a没有零点，即方程x2＋2x＋3a＝0无解，即方程

的判别式小于零，解不等式Δ＝22－4×3a＜0，解得a＞.

答案：B

2．(2009·福建)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，

则f(x)可以是(　　)

A．f(x)＝4x－1       B．f(x)＝(x－1)2

C．f(x)＝ex－1       D．f(x)＝ln

解析：∵g′(x)＝4xln 4＋2＞0，∴g(x)在(－∞，＋∞)上是递增函数．

又g(0)＝1－2＝－1＜0，g＝2＋1－2＝1＞0，

∴g(x)只有一个零点x0，且x0∈.

对于选项A：f(x)＝4x－1，其零点为x＝，

∴＜，故选项A符合．

答案：A

3．(2010·改编题)已知函数f(x)＝，若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则

函数g(x)＝f(x)＋x的零点的个数为(　　)

A．1   B．2   C．3   D．4

解析：f(0)＝－2，即－02＋b·0＋c＝－2，c＝－2；

f(－1)＝1，即－(－1)2＋b·(－1)＋c＝1，故b＝－4.

故f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x＝，令g(x)＝0，

则－2＋x＝0，解得x＝2，或－x2－3x－2＝0，解得x＝－2或－1，故有3个零点．

答案：C

4．(2010·山东枣庄调研)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时，

 f(x)＝1－x2，函数g(x)＝，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,10]内零点 的个数为(　　)

A．12    B．14    C．13    D．8

解析：如右图，当x∈[0,5]时，结合图象知f(x)  与g(x) 共有5个交点，故在区间[-5,0]上共有5              个交点；当x∈(0,10]              时结合图象知共有9个交              点．故函数h(x)=f(x)-g(x)在区间              [-5,10]上共有14              个零点．

答案：B

二、填空题

5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0可

得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．

解析：∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)＜0，f(0.5)＞0，则f(x)在x∈(0,0.5)

上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．

答案：(0,0.5)　f(0.25)

6．(2009·天津南开调研)若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2

－ax－1的零点是________．

解析：由，得

∴g(x)＝－6x2－5x－1的零点为－，－.

答案：－，－

7．(2010·广东茂名调研)设方程2x＋x＝4的根为x0，若x0∈，则整数k＝

________.

解析：根据题意，当x＝时，2x＋x＜4；当x＝时，2x＋x＞4；所以x0∈，故

整数k＝1.

答案：1

三、解答题

8．函数f(x)＝x3－3x＋2，

(1)求f(x)的零点；

(2)求分别满足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范围．

解：f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)

＝(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)．

(1)令f(x)＝0，函数f(x)的零点为x＝1或x＝－2.

(2)令f(x)＜0，得x＜－2；

所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(－∞，－2)；

满足f(x)＝0的x的取值集合是{1，－2}；

令f(x)＞0，得－2＜x＜1或x＞1，满足f(x)＞0的x的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．

9．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且只有一个零点，求实数m的取值范围，并求出零

点．

解：由题意知：方程4x＋m·2x＋1＝0只有一个零点．

令2x＝t(t＞0)，∴方程t2＋m·t＋1＝0只有一个正根，

∴由图象可知∴m＝－2.

当m＝－2时，t＝1，∴x＝0.∴函数f(x)的零点为0.

10．若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根在(－2,0)内，另 一 个根在(1,3)内，求a的取值范围．

解：设f(x)=3x2-5x+a，则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示)．

∵f(x)=0的两根分别在区间(-2, 0)，(1, 3)内，

∴

即

解得-12＜a＜0.所求a的取值范围是(-12,0)．

1．(★★★★)若方程ln x＋2x－10＝0的解为x0，则不小于x0 的最小整数是(　　)

A．4  　　　   B．5

C．6  　　　   D．7

解析：分别作出函数y＝ln x与y＝10－2x的图象，如图，由图

可得不小于x0的最小整数是5.

答案：B

2．(2010·创新题)设函数f(x)＝|x|x＋bx＋c，给出下列四个命题：

①b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实数根；②c＝0时，y＝f(x)是奇函数；③y＝

f(x)的图象关于点(0，c)对称；④函数f(x)至多有两个零点．

则上述命题中所有正确命题的序号是________．

解析：当b＝0，c＞0时，f(x)＝x|x|＋c＝0，结合图象知f(x)＝0只有一个实数根，故①

正确；当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，f(－x)＝－f(x)，故y＝f(x)是奇函数，②正确；y＝f(x)

的图象可由奇函数g(x)＝x|x|＋bx向上或向下平移|c|个单位得到，而y＝f(x)的图象与y

轴的交点为(0，c)，故函数y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称，③正确；方程|x|x－5x＋6

＝0有三个解－6、2、3，即三个零点，故④错误．

答案：①②③