高中数学苏教版必修13.4.1 函数与方程教案设计

课时作业(十一)　[第11讲　函数与方程]

[时间：45分钟　分值：100分]

1．(1)函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点为________；

(2)函数g(x)＝x2－2x＋1的零点个数为________．

2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．

3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

　　据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解x0(精确到0.01)为________．

4．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________．

5．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是________．

6．[2012·如皋模拟]  若函数f(x)＝x2·lga－2x＋2在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a的取值范围是________．

7．定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x>0时，y＝f(x)是单调递增的，f(1)·f(2)<0，则函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的个数是________．

8．已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lgx图象的交点分别为C、D，则直线AB与CD交点坐标为________．

9．[2012·温州一模]  根据表格中的数据，可以判定函数f(x)＝lnx－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N*)，则k的值为________.

10.[2012·常镇二调]  已知方程x＝x的解x0∈，则正整数n＝________.

11．[2012·盐城模拟] 若方程x3＋a＝的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是________．

12．[2012·盐城调研]  已知关于x的方程＝kx3有三个不同的实数解，则实数k的取值范围是________________．

13．(8分)如图K11－1是一个二次函数y＝f(x)的图象．

(1)写出这个二次函数的零点；

(2)写出这个二次函数的解析式；

(3)分别指出f(－4)f(－1)，f(0)f(2)与零的大小关系．

图K11－1

14．(8分)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．

15．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．

16．(12分)已知二次函数y＝f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数y＝f2(x)的图象与直线y＝x的两个交点间距离为8，f(x)＝f1(x)＋f2(x)．

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)证明：当a>3时，关于x的方程f(x)＝f(a)有三个实数解．

课时作业(十一)

【基础热身】

1．(1)2和3　(2)1　[解析] (1)令f(x)＝－x2＋5x－6＝0，解得x＝2或x＝3，故零点为2和3；

(2)令g(x)＝0，解得x＝1，故零点就一个．

2．(2,2.5)　[解析] 由计算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)·f(2.5)<0，∴下一个有根区间是(2,2.5).

3．1.56　[解析] 由表格可得x0∈(1.5562,1.5625)，又精确到0.01，故x0≈1.56.

4．3　[解析] 由f(－4)＝f(0)，可得f(x)＝x2＋bx＋c关于x＝－2对称，∴－＝－2，∴b＝4.

∵f(－2)＝－2，∴c＝2，

∴当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋2，

故f(x)＝x的解为x＝2或－1或－2.

【能力提升】

5．3　[解析] 分别作出函数y＝x2与y＝2x的图象，看图可知有3个交点，故函数f(x)＝x2－2x的零点个数为3.

6．(1，)　[解析] 由题意可有f(1)f(2)<0，即lga×(4lga－2)<0⇒0<lga<⇒1<a<.

7．2　[解析] 由已知可知，存在x1∈(1,2)，使得f(x1)＝0，又函数f(x)为偶函数，所以存在x0∈(－2，－1)，使得f(x0)＝0，故y＝f(x)的图象与x轴有两个交点．

8．(0,0)　[解析] 由图象可知直线AB与CD相交，两直线方程分别为AB：y＝x，CD：y＝x，则其交点坐标为(0,0)．

9．3　[解析] f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在(3,4)内，k＝3.

10．2　[解析] 由下图可得：x0∈(0,1)，设f(x)＝x－x，

因为f＝－<0，f＝－>0，故n＝2.

11．(－∞，－6)∪(6，＋∞)　[解析] 方程的根显然不为0，原方程的实根是曲线y＝x3＋a与曲线y＝的交点的横坐标；而曲线y＝x3＋a是由曲线y＝x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点(xi，)(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与y＝交点为：(－2，－2)，(2,2)；所以结合图象可得：或⇒a∈(－∞，－6)∪(6，＋∞)．

12．k>0或k<－　[解答] 因为＝kx3，

所以＝k(*)，

当x＝0时，原式成立；

当x≠0时，

＝|x|·x·(x＋3)＝

设y＝画出函数图象如下图，观察图象得：ymin＝－4.

因为y＝与y＝有两个交点

故>－4且k≠0，所以k>0或k<－.

13．[解答] (1)由图象知函数y＝f(x)的零点是x1＝－3，x2＝1.

(2)方法一：设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

据题意解得

故这个二次函数的解析式为f(x)＝－x2－2x＋3.

方法二：设二次函数的解析式为f(x)＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，由f(－1)＝4，可得a＝－1，

故这个二次函数的解析式为f(x)＝－x2－2x＋3.

方法三：设二次函数的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＋4(a≠0)，由f(0)＝3，可得a＝－1，

故这个二次函数的解析式为f(x)＝－x2－2x＋3.

(3)∵f(－4)＝－5，f(－1)＝4，f(0)＝3，f(2)＝－5，

∴f(－4)f(－1)＝－20<0，f(0)f(2)＝－15<0.

 14.[解答] ∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，

即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．

设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.

当Δ＝0，即m2－4＝0，∴m＝±2.

当m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，

∴2x＝1，x＝0符合题意．

当Δ＞0，即m＞2或m＜－2时，方程t2＋mt＋1＝0有两不等根，由题设知仅有一根，且为正，故方程t2＋mt＋1＝0有一正一负根，

即t1t2＜0，这与t1t2＞0矛盾．

∴这种情况不可能．

综上可知：m＝－2时，f(x)有惟一零点，该零点为x＝0.

15．[解答] 若a＝0，则函数f(x)＝2x－3在区间[－1,1]上没有零点．

下面就a≠0时分三种情况讨论．

(1)方程f(x)＝0在区间[－1,1]上有重根．

此时Δ＝4＋8a(3＋a)＝4(2a2＋6a＋1)＝0，

解得 a＝.

当a＝时，  f(x)＝0的重根x＝∈[－1,1]；

当a＝时，f(x)＝0的重根x＝∉[－1,1]；

故当方程f(x)＝0在区间[－1,1]上有重根时，a＝.

(2)f(x)在区间[－1,1]上只有一个零点且不是f(x)＝0的重根，

此时有f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)≤0⇒1≤a≤5.

∵当a＝5时，方程f(x)＝0在区间[－1,1]上有两个相异实根．

故当方程f(x)＝0在区间[－1,1]上只有一个根且不是重根时，a的取值范围为{a|1≤a<5}．

(3)方程f(x)＝0在区间[－1,1]上有两相异实根．

因为函数f(x)＝2a2－－a－3，其图象的对称轴方程为x＝－，所以a应满足

(I)或(Ⅱ)

解不等式组(I)得a≥5，

解不等式组(Ⅱ)得a<，

故当方程f(x) ＝ 0在区间[－1,1]上有两相异实根时，a<或a≥5.

综上所述，函数在区间[－1,1]上有零点，a的取值范围是∪[1，＋∞)．

16．[解答] (1)由已知，设f1(x)＝ax2，由f1(1)＝1，得a＝1，∴f1(x)＝x2.

设f2(x)＝(k>0)，它的图象与直线y＝x的交点分别为A(，)，B(－，－)．

由|AB|＝8，得k＝8，∴f2(x)＝.故f(x)＝x2＋.

(2)证明：法一：由f(x)＝f(a)，得x2＋＝a2＋，

即＝－x2＋a2＋.

在同一坐标系内作出f2(x)＝和f3(x)＝－x2＋a2＋的大致图象，其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3(x)的图象是以为顶点，开口向下的抛物线．

因此，f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点，即

f(x)＝f(a)有一个负数解．

又∵f2(2)＝4，f3(2)＝－4＋a2＋，

当a>3时，f3(2)－f2(2)＝a2＋－8>0，

∴当a>3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2，f3(2))在f2(x)图象的上方．

∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点，即

f(x)＝f(a)有两个正数解．

因此，方程f(x)＝f(a)有三个实数解．

法二：由f(x)＝f(a)，得x2＋＝a2＋，

即(x－a)＝0，得方程的一个解x1＝a.

方程x＋a－＝0化为ax2＋a2x－8＝0，

由a>3，Δ＝a4＋32a>0，得

x2＝，x3＝，

∵x2<0，x3>0，∴x1≠x2，且x2≠x3.

若x1＝x3，即a＝，则

3a2＝⇒a4＝4a，

得a＝0或a＝，这与a>3矛盾，∴x1≠x3.

故原方程f(x)＝f(a)有三个实数解．