必修13.4.1 函数与方程教学设计及反思

函数与方程的思想方法课堂资料

一、基础知识整合函数与方程的思想是中学数学的基本思想.

函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识.用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察处理问题. 用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题

方程思想,就是在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形式(函数形式)表示出来的，那么可把解析式看作是一个方程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.

函数思想与方程思想是密切相关的.如函数问题(例如：求反函数；求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.如方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标(即函数y＝f(x)的零点)；解不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)，就是求函数y＝f(x)的正负区间.

就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。如数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点处理数列问题;又如函数f(x)＝（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;又如解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论.又如立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决等.

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：⑴遇到变量，构造函数关系解题；⑵有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；⑶含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；⑷实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；⑸等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

二、例题解析

1.运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。

[例1] 已知，（a、b、c∈R），则有（   ）

(A)   (B)   (C) (D)

解析 法一：依题设有 a·5－b·＋c＝0，∴是实系数一元二次方程的一个实根；∴△＝≥0  ∴  故选(B)

法二：去分母，移项，两边平方得：

≥10ac＋2·5a·c＝20ac,∴ 故选(B)

[点评]解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成.

2. 构造函数或方程解决有关问题

[例2] 已知，t∈[，8]，对于函数f(t)值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的取值范围.

解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]，原题转化为：>0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）

当x＝2时，不等式不成立。∴x≠2,令g(m)＝，m∈[，3]

问题转化为g(m)在m∈[，3]上恒对于0，则：；解得：x>2或x<－1

[评析]首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量m，不等式的左边恰是m的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决.在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键。

[例3]已知不等式对任意实数都成立,求的取值范围.

解:令,则,,

原不等式可化为在上恒成立的问题,

设,

①当时,,②当时,,

③当时,

∴所求的取值为下列不等式组的解集,

或或解得的取值范围是或.

[评析]把不等式恒成立问题,通过换元法转化为二次函数的最值问题,利用函数性质解决,处理二次函数最值时,按对称轴的位置分情况讨论,并利用函数性质:,当上恒成立,使问题得以解决.

3. 运用函数与方程的思想解决数列问题

[例4]设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，>0，<0，

（1）求公差d的取值范围；（2）指出、、…，中哪一个最大，并说明理由.

解析（1）由得：，

∵＝>0 ,＝<0，∴<d<－3

（2），∵d<0，是关于n 的二次函数，对称轴方程为：x＝，∵<d<－3   ∴6<< ,∴当n＝6时，最大.

[评析] 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题.也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快.由此可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合.

本题的另一种思路是寻求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>…>a，由S＝13a<0得a<0，由S＝6(a＋a)>0得a>0。所以，在S、S、…、S中，S的值最大。

4.运用函数思想分析应用中求最值问题

[例5]如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为,高度为,已知流出的水中该杂质的质量分数与的乘积成反比,现有制箱材料,问当各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计).

 解:设为流出的水中杂质的质量分数,则,其中为比例系数.依题意,即所求的值使值最小.根据题设,

有,得,

于是==

≥,当时,取等号,达到最小值.

这时将代入①式,得.

∴当,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

[评析]利用函数的思想方法,根据题意首先建立一个目标函数是解决问题的第一步和关键,然后再想办法求目标函数的最值.

5.运用函数与方程的思想分析直线与二次曲线有关问题

[例6]点A、B分别是椭圆的长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点点P在椭圆上，且位于x轴上方，

（1）求P点的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离

等于，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值

[解]（1）由已知可得点A(-6,0),F(0,4),设点P(x,y),

则={x+6,y},={x-4,y},由已知可得

则2x2+9x-18=0,解得x=或x=-6.由于y>0,只能x=,于是y=.∴点P的坐标是(,)

(2) 直线AP的方程是x-y+6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是.

于是=,又-6≤m≤6,解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有

d2=(x-2)2+y2=x-4x2+4+20-x2=(x-)2+15,由于-6≤m≤6,

∴当x=时,d取得最小值

[评析]方程思想是处理直线与二次曲线有关问题的基本方法.

三、强化练习

[练习1] 对任何,函数的值总大于零,则的取值范围是(   )

(A)       (B)      (C)     (D)

[练习2]已知等差数列的前n项和为S，且Sp＝S  (p≠q，p、q∈)，则S＝_______.

[练习3]已知关于的方程 －（2 m－8）x +－16 = 0的两个实根 、 满足 ＜＜，则实数m的取值范围______________.

[练习4]已知集合，集合，且，求实数a的取值范围.

[练习5]若，，求证:方程至少有一个正根，且不超过a＋b．

[练习6]已知，求的最大值．

练习答案:

1.B 

2.[解析]利用是关于n的一次函数，设S＝S＝m，＝x，则(,p)、(,q)、(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，∴答案为0；

3.

4.解：构造二次函数，由图形即

5.解:设，则在（－∞，＋∞）上连续，且．又，若，则就是方程的根，若，又，故在（0，）内至少存在一个，使得.

6.[解析]由已知得，令，[,10］，

∵  在[,1］上单调减少，在[1,10］上单调增加，而，

∴  ．因此最大值为