高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用第二课时教案

1．已知点(2,3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是(　　)

A．点(－2,3)在椭圆外

B．点(3,2)在椭圆上

C．点(－2，－3)在椭圆内

D．点(2，－3)在椭圆上

答案：D

2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)

A．m>1　　　　　　　　　 B．m>1且m≠3

C．m>3   D．m>0且m≠3

答案：B

3．(2011年东北师大附中高三模拟)过椭圆C：＋＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则＋等于(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A.由已知得直线l：y＝(x＋1)．联立，可得A(0，)、B(－，)，

又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝，

∴＋＝.

4．直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．

答案：(－，)

一、选择题

1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)

A．－<a<　　　　　　　　 B．a<－或a>

C．－2<a<2   D．－1<a<1

答案：A

2．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是(　　)

A.   B.

C．1   D.

解析：选B.椭圆的右焦点为F(1,0)，

∴d＝＝.

3．过椭圆＋＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为(　　)

A．5   B．6

C.   D．7

解析：选C.椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k＝1，

∴直线AB的方程为y＝x－4，

由得9x2＋25(x－4)2＝225，

由弦长公式易求|AB|＝.

4．直线y＝x＋m与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)

A．(－5,5)   B．(－12,12)

C．(－13,13)   D．(－15,15)

解析：选C.联立直线与椭圆方程，由判别式Δ>0，可得－13<m<13.

5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：

选D.如图，由于BF⊥x轴，故xB＝－c，yB＝.设P(0，t)，

∵＝2，

∴(－a，t)＝2.

∴a＝2c，

∴＝.

6．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)

A．－3   B．－

C．－或－3   D．±

解析：选B.不妨设l过椭圆的右焦点(1,0)，

则直线l的方程为y＝x－1.

由消去y，得3x2－4x＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝0，

∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)

＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－.

二、填空题

7．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．

解析：由题意可设椭圆方程＋＝1，联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a＝.

答案：2

8．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.

解析：两焦点的坐标分别为F1(－5,0)、F2(5,0)，

由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100.

而|PF1|＋|PF2|＝14，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝196.

∴100＋2|PF1|·|PF2|＝196.∴|PF1|·|PF2|＝48.

答案：48

9．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．

解析：

椭圆的右焦点为F(1,0)，

∴lAB：y＝2x－2.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得3x2－5x＝0，

∴x＝0或x＝，

∴A(0，－2)，B(，)，

∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)

＝×1×(2＋)＝.

答案：

三、解答题

10．焦点分别为(0,5)和(0，－5)的椭圆截直线y＝3x－2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程．

解：设此椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

且a2－b2＝(5)2＝50　①

由，

得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.

∵＝，∴＝，

∴a2＝3b2　②，此时Δ>0，

由①②得a2＝75，b2＝25，∴＋＝1.

11.

如图，已知斜率为1的直线l过椭圆＋＝1的下焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB之长．

解：令A、B坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．

由椭圆方程知a2＝8，b2＝4，

∴c＝＝2，

∴椭圆的下焦点F的坐标为F(0，－2)，

∴直线l的方程为y＝x－2.

将其代入＋＝1，

化简整理得3x2－4x－4＝0，

∴x1＋x2＝，x1·x2＝－，

∴|AB|＝

＝

＝

＝

＝.

12．(2011年高考北京卷)已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．

(1)求椭圆G的方程；

(2)求△PAB的面积．

解：(1)由已知得c＝2，＝，

解得a＝2.

又b2＝a2－c2＝4，

所以椭圆G的方程为＋＝1.

(2)设直线l的方程为y＝x＋m.

由得

4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①

设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则

x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.

因为AB是等腰△PAB的底边，

所以PE⊥AB，

所以PE的斜率k＝＝－1，

解得m＝2.

此时方程①为4x2＋12x＝0.

解得x1＝－3，x2＝0，

所以y1＝－1，y2＝2.

所以|AB|＝3，

此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.