2013-2014学年高二数学湘教版选修2-2：6.2.2知能演练轻松闯关教案

1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(　　)

①结论的假设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．

A．①②　　　　　　　  B．②③

C．①②③      D．①②④

解析：选C.由反证法的基本思想知①②③可作为条件使用．

2.(2012·涪陵调研)用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是(　　)

A．三个内角中至少有一个钝角

B．三个内角中至少有两个钝角

C．三个内角都不是钝角

D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角

解析：选B.“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．

3.“至多有两个解”的否定应是(　　)

A．有一个解     B．有两个解

C．至少有三个解    D．至少有两个解

解析：选C.“至多有两个”包括“0个，1个，2个”，其否定应为“至少有三个”．故选C.

4.(2012·荣昌检测)有下列叙述：

①“a>b”的反设是“a<b”；

②“x＝y”的反设是“x>y或x<y”；

③“三角形的外心在三角形外”的反设是“三角形的外心在三角形内”．其中正确的叙述有________．

解析：①的反设是“a≤b”；②的反设是“x≠y”，也就是“x>y或x<y”；③的反设是“三角形的外心在三角形内或在三角形边上”．只有②正确．

答案：②

一、选择题

1.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的为(　　)

A．a，b，c都是奇数

B．a，b，c都是偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c都是奇数或其中至少有两个偶数

解析：选D.对照常见反设表即知自然数a，b，c中恰有一个偶数的否定为a，b，c都是奇数或其中至少有两个偶数．

2.用反证法证明命题“若整系数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是(　　)

A．假设a，b，c都是偶数

B．假设a，b，c都不是偶数

C．假设a，b，c至多有一个是偶数

D．假设a，b，c至多有两个偶数

解析：选B.至少有一个的反设是至多有(1－1)个即0个，则a，b，c中至少有一个是偶数的反设为“a，b，c都不是偶数”．

3.(2012·渝北调研)用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容是(　　)

A.＝     B.<

C.≥     D.＝或<

解析：选D.反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，>的反面是<或＝.

4.设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)

A．至少有一个不大于2

B．都小于2

C．至少有一个不小于2

D．都大于2

解析：选C.若a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，显然①与②矛盾，所以C正确．

5.已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R，有下列四个命题：①若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0；③若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)；④若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.其中真命题有(　　)

A．1个     B．2个

C．3个     D．4个

解析：选D.易知①③正确，②用反证法：

假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，

∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，

∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)与条件矛盾，故a＋b≥0，从而②为真命题，④类似于②用反证法．

6.(2012·秀山质检)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则(　　)

A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形

B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形

D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形

解析：选D.由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形，

由

和为π相矛盾，所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形，故选D.

二、填空题

7.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．

解析：对其的否定有两部分：一是任何三角形；二是至少有两个．

答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角

8.在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时应分：假设________和________两类．

解析：∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.

答案：∠BAP＝∠CAP　∠BAP＞∠CAP

9.设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．

解析：假设a、b、c都小于，则a＋b＋c＜1与a＋b＋c＝1矛盾．故a、b、c中至少有一个不小于.

答案：

三、解答题

10.用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．

证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，不妨设α，β为其两个实根，且α<β，则f(α)＝f(β)＝0.

因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，又α<β，

所以f(α)<f(β)，这与假设f(α)＝f(β)＝0相矛盾．

所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．

.(创新题)已知a，b，c∈(0，1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.

证明：假设三个式子同时大于，

即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，

三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，　①

又因为0<a<1，所以0<a(1－a)≤()2＝.

同理0<b(1－b)≤，0<c(1－c)≤，

所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤，　②

①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．

.(2011·高考江西卷节选)是否存在两个等比数列{an}，{bn}，使得b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列？若存在，求{an}，{bn}的通项公式；若不存在，说明理由．

解：假设存在两个等比数列{an}，{bn}，使b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列．设{an}的公比为q1，{bn}的公比为q2，

则b2－a2＝b1q2－a1q1，b3－a3＝b1q－a1q，

b4－a4＝b1q－a1q.

由b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成等差数列，得

即

①×q2－②得a1(q1－q2)(q1－1)2＝0.

由a1≠0得q1＝q2或q1＝1.

a．当q1＝q2时，由①②得b1＝a1或q1＝q2＝1，这时(b2－a2)－(b1－a1)＝0，与公差不为0矛盾．

b．当q1＝1时，由①②得b1＝0或q2＝1，这时(b2－a2)－(b1－a1)＝0，与公差不为0矛盾．

综上所述，不存在两个等比数列{an}，{bn}使b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列．