数学必修13.4.2 函数模型及其应用教学设计及反思

函数模型及其应用

教学三维目标、重点、难点、准备。

1．1教学三维目标

  （1）知识与技能：使学生学会建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测。

  （2）过程与方法：通过例题与作业中的具体实例，让学生了解函数模型的广泛应用。

  （3）情感态度与价值观：利用函数模型解决问题前，进行拟合检验，培养学生的负责态度。

1．2教学重点：由面临的实际问题建立函数模型，检验函数模型，并利用得到的函数模型解决问题。

1．3教学难点：如何根据面临的实际问题建立函数模型。

1．4教学准备：PPT制作与几何画板制作。

1         教学过程。

（学生）：（对5种基本初等函数进行回顾）

（教师）：（打开PPT）函数建模的基本思想与方法：

    把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述称为数学建模。数学建模的形式是多样的。解应用题的关键是建立数学建模，把实际问题通过分析、联想、抽象转化为数学问题。函数知识内容丰富、应用广泛，不仅数学问题，而且社会生活、生产和自然科学领域中有许多问题都需要用函数知识来解决，如成本最底、利润最高、用料最省、路程最短等常可归纳为函数的最值问题。

 现在同学们来回顾一下以前是如何来解应用题的？它的步骤是怎样的？

（打开PPT）运用建模思想解函数应用题的一般步骤是：

读(阅读材料，审题，找基本量或关系)；

建(提取信息，抽象成数学语言，根据相关定义及数学知识建立模型)；

求(根据数学思想和方法，求解函数模型，得出结论)；

还(把数学结论还原到实际问题中，通过分析、判断、检验得到实际正确解答，写出答案)。

一.由变量之间的依存关系建立函数关系；

（学生）：是不是题目中就已经告诉我们几个量之间的函数关系了？

（教师）：是的。而且我们以前所接触的基本上就是这样的题目。

二.由所掌握的数据资料,即根据确定性,随机性数据建立函数关系,这种往往要画散点图。

（学生）：它是不知道函数关系式的。

（教师）：（打开PPT）例：某地新建一个服装厂，从今年月份开始投产,并且前4个月的产量分别为万件，万件，万件，万件。由于产品质量好服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好，为使推销员在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？

在这个题目里给我们的只是一些随机性的数据，要看出这些数据间的联系，我们只有——

（学生）：画散点图。（学生们接下来画散点图，过1分钟。）

板书：画散点图

图1

（教师）：（打开几何画板），如图1所示各点：把4个点分别记为A、B、C、D。观察这4个点有何联系？

（学生）：这4个点基本上在同一条直线上。

（学生）：应该是一次函数，是。

板书：由图可知：①用一次函数拟合，把B、C坐标值代入，得，故。

∴与实际的误差为，与实际的误差为

（教师）：（打开几何画板），如图1蓝线所示：

（教师）：我们仔细地观察图形，发现A、D都在直线的下方，我们可以——

（学生）：二次函数可以吗？（有点不肯定）

板书：②用二次函数拟合，把A、B、C坐标值代入，得，故

∴与实际误差为

（教师）：（打开几何画板），如图1黑线所示。

（教师）：观察这些数据，我们可以发现随着自变量的增加函数值也在增加，但是增加的速度是越来越慢的，那我们可以——

（学生甲）：对数函数。（学生乙）：幂函数。（学生丙）：指数函数。

（教师）：要求掌握的是次的幂函数，从经过的点来看不是次的幂函数，但是我们可以用次的幂型函数来拟合。

板书：③用幂型函数拟合，把A、B坐标值代入，得，故

∴与实际误差为，与实际误差为，

（教师）：（打开几何画板），如图1红线所示：

（教师）：因为图象不经过这个点，可以肯定不是指数函数。

（学生）：课本上有个例子是用来拟合的，是不是这个也可以的？

板书：④用指数型函数拟合，把A、B、C坐标值代入，得 ，

（2）-（1）、（3）-（1）得，∴

故。∴与实际的误差为

（教师）：（打开几何画板），如图1绿线所示：

（教师）：因为对数函数是经过点的——

（学生）：（议论，基本能想到在整个函数式子后面加一个常数，很少想到图象的左右平移，即在后边加一个常数）

（教师）：同学们都能想到在整个式子后加一个常数，我们知道这是图象的上下平移；难道同学们就不能想到图象的左右平移，那这样的式子应该是——

（学生）：后边加一个常数。

板书：⑤用对数型函数拟合，把A、B、C坐标值代入，得 ，（2）-（1）、（3）-（1）得， ，∵，∴，

∴，，

把，

故，∴与实际的误差为

（教师）：刚才我们算了一个比较小的误差，现在这个误差是更小的。

（教师）：（打开几何画板），如图1墨绿线所示：

（教师）：从图象中我们可以看到D点更加接近于曲线，所以说假如你们作为厂长的话，你们选择的函数模型应该是，以这个函数模型作为依据来估计以后几个月的需求量。由实际的趋势我们也可以知道当一种新的产品投入市场后的一段时间内，假如产品好的话，肯定会比较畅销。过了这段时间由于市场饱和及工厂设备或另一种新的产品出现等情况，必定要导致原来产品的平稳期。所以说我们也应该选择这一函数模型。在刚才的函数模拟中有同学提出是否可以在式子前乘上一个系数，这是完全可以的。由于时间的关系我们就不继续展开了，同学们可以在课后去研究一下是否可行。

实际上对于这样一个具体的问题，我们假如继续去模拟新的函数模型有可能会更加吻合。这里只能说没有最好的，只有更好的，所以说答案也是不一定唯一的。马尔萨斯人口增长模型也是在他经过无数次的拟合后得到的一个模型。

下面我们来看一下我们刚才的基本过程：（打开PPT）（如图2）（说明：各方块在PPT中是逐一出现的）

图2

    实行了新的课程之后，我们要学习的一门重要学科就是《研究性学习》。刚才的过程给了我们一个比较好的实例，如何来解决实际的问题，对于同学们搜集到的数据如何进行处理。

（打开PPT）小结：（1）（2）（3）（说明：小结部分可由学生自己总结得到）

           作业：某厂生产一种机器的固定投入为万元,但每生产       台,需要另投入万元.市场对此产品的需求量为台,销售收入函数为(万元),其中是产品售出的数量(单位:百台).

     (1)把利润表示为年产量的函数;

     (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?

 (3)年产量是多少时,工厂才不会亏本?

2         教学反思。

作为新课改下的一节研究性的课堂教学，主要有以下几个理念的体现：

（1）       倡导积极主动、勇于探索的学习方式

新课程里倡导的是学生的主动探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式。这节课里的5种函数模型基本上都是学生在主动探索中来发现，这样有助于发展他们的创新意识。

（2）       注重提高学生的数学思维能力

同学们在运用所学的数学知识解决问题时，不断地运用了直观感知、数据处理、观察发现、归纳类比、反思与建构等思维过程。

（3）       发展学生的数学应用意识

越来越多的学生认为高中数学的学习已经是越来越没用了。实际上数学越来越多地在生活、经济、政治、文化等领域中发挥了不可替代的作用。

（4）       与时俱进地体现“双基”

我国的数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统。新课改要求着我们继续发扬这种传统，但也要适当的改变。例如一些计算可以由计数器来完成，不加入一些人为性的计算技巧等。

（5）       注重信息技术与数学课程的整合

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。本节课中的散点图以及各函数图象如果不是在几何画板中来完成就会影响了时间又影响了各函数拟合效果。