高中3.4.2 函数模型及其应用教学设计及反思

小议复合函数

摘要 ：求复合函数的单调区间，定义域和值域是高中数学的重点也是难点，很多同学遇到复合函数的问题都会无从下手，我想这主要是对复合函数理解不够透彻造成的.下面我就复合函数的相关问题谈一些不成熟的建议.

关键词：原函数 内层函数 外层函数

正文：1 ，复合函数的概念

      设函数都是单调函数,那么复合函数也是单调函数.其中称为内层函数，称为外层函数，称为原函数.

  2，复合函数单调性理论上的证明

已知在函数中，设函数在区间上是单调递增的，函数在区间（其中区间是函数的值域）上是单调递增的，求证:原函数在区间上是增函数.            证明:任取且,内层函数在区间上是增函数,，（其中）又外层函数在区间上也是增函数，，即,由函数的单调性定义可得原函数在区间上是单调递增函数(证毕).用同样的方法可以证明剩余的三种情况(见下表).

    3,  结论

从表中可知,对于原函数,内层函数和外层函数,如果知道其中的任意两个函数的单调性就可以推知第三个函数的单调性,理论依据是"同增,异减".很多同学只知道由内层函数和外层函数推出原函数,却不知任意两个可以推出第三个.下面我们来看一些具体的案例.

【案例1】求函数的单调区间和值域

解 :令,由可知原函数的定义域为.原函数是由与复合而成.内层函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,而外层函数在上是减函数,依据复合函数单调性的判断规律,原函数的单调增区间是,单调减区间是.接下来求值域:,且根据对数的意义,,而函数在区间上是减函数,原函数的值域是.

 【点评】求复合函数单调区间的基本程序是:分解原函数 内层,外层 结论.本题求定义域是前提,求单调区间必须在定义域里考虑.在求值域时应明确外层函数的值域就是原函数的值域,往往依据外层函数的单调性来求.

 【案例2】已知函数在区间上是增函数,求的范围.

解:令,则原函数是由 与复合而成.原函数在区间上是增函数,而外层函数始终是增函数,则易知内层函数在区间上也是增函数.而实质上原函数的最大单调增区间是,由得,即.

【点评】本题是一个典型的已知原函数和外层函数的单调性来判断内层函数单调性的问题,应遵循“知二求一”的判断原则.

   【案例3】求函数的单调区间和值域.

解:,令,则原函数是由和复合而成.外层函数在上是减函数,在上是增函数,而,即,且内层函数在区间和区间上是增函数,所以原函数在区间上是减函数,在区间上是增函数.下面求值域:

令,则(当且仅当即时),所以,原函数的值域是.

【点评】这是一个型如二次函数的复合函数,先应换元配方,然后求外层函数的单调区间,对应的计算出内层函数的单调区间,这个过程是颠倒的,因为我们平时习惯于先考察内层函数,在考察外层函数,不过顺序上的选择主要是由问题的本身决定.

【例4】 求函数的单调区间

解:令,则原函数是由内层函数复合而成.由,得原函数的定义域为.显然内层函数.而上始终是减函数,在区间上也是减函数,根据两两复合,遵循"同增异减"的原则,原函数的单调减区间是,单调增区间是.见下表:

【点评】这是一个型如的多层函数,可分解成内,中,外三层函数.采取从内向外的探索方法,但求定义域是关键.当三层函数的单调性都明确后,先进行任意两层复合,所得结果再和剩下的一个复合,上述每一个程序都应遵循"同增异减",且谁和谁先复合不会对结果产生影响,读者可以自行体会.

利用复合函数求单调区间,能够起到化繁为简的作用,是一种化整为零,各个击破的思想.以上就是我对复合函数谈的一点不成文的看法,不足之处敬请同仁好友批评指正,希望我们能够在相互交流的基础上在知识的海洋中"发现新大陆".

参考文献:(1)高一数学新课标《名师一号》(北师大版)

          (2) 高三数学《创新方案》 人民日报出版社