高中数学第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用3.4.2 函数模型及其应用教案

函数模型及其应用

一、教材分析

  本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤。函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功。本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、以及简单的一次函数类的分段函数。其中，最重要的是二次函数模型。

二、学习目标分析

知识与技能：1、通过社会生活、生产中的例子，使学生体会函数模型的广泛应用；

2、让学生学会对数据进行分析、处理，建立模拟函数的方法和步骤，并解决实际问题；

            3、了解一些简单的数学模型，熟悉数学建模；

过程与方法：1、了解数学建摸，掌握根据已知条件建立函数关系式；

2、培养学生分析问题、解决问题的能力；

3、培养学生应用数学的意识；

情感与态度：1、认识数学和生活的相互联系；

2、了解数学在实际中的应用。

三、教学重难点：

重点：通过仔细审题，建立数学模型，计算并解决实际问题；

难点：数学建模的意识；

关键：一次函数模型、二次函数模型和分段函数模型的应用。

四、教法分析：

通过布置作业的形式让学生阅读课本，完成“自主学习”部分的习题，了解数学模型的概念及数学建模的思想方法。课堂上通过讨论与学生一起分析得出数学应用题的解决应达到哪些能力要求，再通过“合作探究”与大家一起总结解答应用题的基本步骤；最后留出足够的时间，让学生完成“巩固提高”中的练习题，巩固学生对数学应用题的认识，同时加强对相关知识点的熟悉程度。

五、学法分析：

 现代教育心理学的研究认为：有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的 。在初中，函数类的应用题已有所知，从直观上接触过函数模型．因此，在设计教案时，通过自主完成课案中的“自主学习”部分，让学生从一些简单的数学模型入手，熟悉函数模型，再通过课堂上的“合作探究”加深函数模型的理解，拓展函数模型，学会建立模拟函数的方法和步骤。最后通过“巩固提高”题巩固本节内容。整个学习过程由简入难，循序渐进，逐步提高数学能力。目的是为了培养学生应用数学的能力。

六、教学过程：

（一）、自主学习：

1、在一定范围内，某种产品的购买量y t与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000t，每吨为800元；购买2000t，每吨700元，一客户购买400t，单价应为                    （    ）

（A）820元          （B）  840元           （C）  860元               （D）880元

设计说明：这是生活中一个简单的一次函数模型，且题目中已经建立了函数模型，难度较低，作为本节课内容的切入口。

2、某地高山上温度从山脚起每升高100m，降低0.70C，已知山顶的温度是14.10C，山脚的温度是260C，问：此山高为            。

设计说明：本题里山顶的高度和温度之间的关系是一次函数关系，需要通过挖掘才能发现，体现平时的解应用题时使用函数模型的思想。

3、某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10m3，按每立方米x元收取水费；每月用水超过10m3，超过部分加倍水费。某职工某月缴水费16x，则该职工这个月实际用水为                                                           （    ）

（A）13m3         （B）14m3            （C）18m3                 （D）26m3

设计说明：本题里职工每月的缴水费和用水量是一次函数的分段函数模型，难度较一次函数有所提高，同时也是紧密联系的，目的是激发学生的学习兴趣。

这部分练习通过具体的生活实例引入一次函数模型，一次函数的分段函数模型，让学生初步感受到数学和生活的联系，调动学生学习本节内容的学习热情。指导学生从具体事例中抽象出函数模型，从数学的角度去认识问题，解决问题。

（二）、合作探究：

例1、某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且每生产一件产品，成本增加1万元，又知总收入R是产品数Q的函数，,问：产品的生产数量为多少时，总利润最大？

设计说明:通过仔细审题，从题目中挖掘等量关系，归纳出利润的表达式为一个二次函数模型，从而进入本节课的重难点。同时分析情况，让学生学会掌握建立模拟函数的方法和步骤。本题难度适中，安排在合作探究的第一题，符合循序渐进的教学原则。

例2．如图：某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，现要在荒地上画出

一长方形的地块MNGD（N在AB上）修建一座公寓楼，其中

AE=60m，BC=70m，CD=80m，DE=100m。

问：如何设计才能使公寓楼的占地面积最大？最大的面积是多少？

设计说明：本题是一个实际意义很强的题目，而且难度较大。目的是进一步提升学生的建立函数模型的能力，加深建立模拟函数的方法和步骤的理解。

例3：某车站有快车、慢车两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到达终点站需16 min，快车比慢车晚发车3min，且行驶10 min后到达终点站，试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式。两车在途中何时相遇？相遇时距始发站多远？

设计说明：本题为一次函数的分段函数模型，难度适中，目的主要是让学生熟悉这类函数模型。同时加深学生对函数模型的认识和理解，巩固数学建模的方法和步骤。

（三）、巩固提高：

1．在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，则将y表示为关于x的函数关系式为               。

2．用长度为24m的材料围成一个矩形场地，中间有两道阁墙，要使矩形的面积最大，则每道阁墙的长度为                。

3．某厂有一部分形状为直角梯形的边角料（如图），为了降低成本，

现要从这些边角料上截取矩形铁片（图中阴影部分），当截取的矩形面积

最大时，矩形两边的长应为x=       ，y=          。

设计说明：这部分练习在课堂上当堂测试，目的是检测学生本节课的学习效果，巩固函数模型的应用，特别是二次函数模型的应用。题目结构为一个一次函数模型，两个二次函数模型，其中第3题难度较大，目的是提升学生应用函数模型能力。

（四）回顾总结：

通过师生互动，回顾本节课的概念、方法。

设计意图：①：体现“教师为主导，学生为主体”的思想。

②：通过小结使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，能抓住重点进行课后复习。

板书设计：

函数模型及其应用   

1．一次函数模型：    (一)．自主学习：    (二)、合作探究：  (二)、巩固提高：

2．二次函数模型：          1．                例1．            1．

3．分段函数模型：          2．                例2．            2．

4．求解函数应用题基本步骤：3．                例3．            3．