高中数学苏教版必修13.4.2 函数模型及其应用教案及反思

2.6　函数模型及其应用（1）

教学目标：

1．能根据实际问题的情境建立数学模型，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的解答；

2．通过实例，理解一次函数、二次函数等常见函数在解决一些简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；

3．在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.

教学重点：

一次函数、二次函数以及指、对数函数等常见函数的应用．

教学难点：

从生活实例中抽象出数学模型.

教学过程：

一、问题情境

某城市现有人口总数为100万，如果人口的年自然增长率为1.2﹪，问:

（1）写出该城市人口数y(万人)与经历的年数x之间的函数关系式;

（2）计算10年后该城市的人口数；

（3）计算大约多少年后，该城市人口将达到120万?

（4）如果20年后该城市人口数不超过120万，年人口自然增长率应该控制在多少？

二、学生活动

回答上述问题，并完成下列各题：

1．等腰三角形顶角y(单位：度)与底角x的函数关系为　　　　　．

2．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数   　　　          ，其定义域为    　　　     ．

三、数学应用

例1　某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(元)以及利润L(万元)关于总产量x台的函数关系式．

例2　大气温度y(℃)随着离开地面的高度x(km)增大而降低，到上空11 km为止，大约每上升1 km，气温降低6℃，而在更高的上空气温却几乎没变(设地面温度为22℃)．

求：（1） y与x的函数关系式；

（2）x＝3.5 km以及x＝12km处的气温．

变式：在例2的条件下，某人在爬一座山的过程中，分别测得山脚和山顶的温度为26℃和14.6℃，试求山的高度．

四、建构数学

利用数学某型解决实际问题时，一般按照以下步骤进行：

1．审题：理解问题的实际背景，概括出数学实质，尝试将抽象问题函数化；

2．引进数学符号，建立数学模型，即根据所学知识建立函数关系式，并确定函数的定义域；

3．用数学的方法对得到的数学模型予以解答，求出结果；

4．将数学问题的解代入实际问题进行检验，舍去不合题意的解，并作答.

五、巩固练习

1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x件时的成本函数是C(x)＝200＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到　　　　　　元．

2．有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务．设由x部机

器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y(小时)与机器的

部数x的函数关系式．

3．A，B两地相距150千米，某人以60千米/时的速度开车从A到B，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A，则汽车离开A地的距离x与时间t的函数关系式为　　．

4．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到达终点需16min，快车比慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站.试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？

5．某产品总成本C(万元)与产量x(台)满足关系C＝3000＋20x－0.1x2，其中0＜x＜240．若每台产品售价25万元，要使厂家不亏本，则最少应生产多少台？

六、要点归纳与方法小结

1．利于函数模型解决实际问题的基本方法和步骤；

2．一次函数、二次函数等常见函数的应用．

七、作业

课本P84－练习1，2，3．