高中数学苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用3.4.2 函数模型及其应用教学设计

第35课时 函数模型及其应用（一）

【学习目标】

1．能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题；

2．感悟数学在实际问题中的应用．

【课前导学】

引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔同笼，有35个头，94只脚，问有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？

老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.

此例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.

可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.

【课堂活动】

一．建构数学：

1．一次函数模型的应用

例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.，火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程.

解：因为火车匀速运动的时间为(277– 13)÷120 = (h)，所以.

因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是：

2h内火车行驶的路程=233(km).

答略．

【师生共同总结】解题方法：

 1．读题，找量及其等量关系； 2．抽象成数学模型； 3．求出数学模型的解； 4．作答.

二．应用数学：

2．二次函数模型的应用

例2 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

解答：方法一  【列表法】

依题意可列表如下：

由上表容易得到，当x = 10，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8000元.再提高租金，总收入就要小于8000元了.

【方法二】 设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为

y = (20 + 2x) (300 – 10x ) = –20x2 + 600x – 200x + 6000

 = –20(x2 – 20x + 100 – 100) + 6000

 = –20(x – 10)2 + 8000.

由此得到，当x = 10时，ymax = 8000.即每间租金为20 + 10×2 = 40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8000元.

【说明】法一：用列表法求解.此法可作为学生探求思路的方法，但由于运算比较繁琐，一般不用，应以法二求解为重点.对法二让学生读题，回答问题.教师指导，学生自己动手解题

师生合作由实际问题建模，让学生尝试解答．

3．分将函数模型的应用

例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象.

解：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.

阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km. ．

（2）根据图，有

这个函数的图象如图所示.

【小结】

实际应用用问题解决的一般步骤：

理解问题简化假设数学建模解答模型检验模型评价与应用.

三．理解数学：

1．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h所行驶的路程.

解：设汽车行驶的时间为t h，则汽车行驶的路程Skm与时间t h之间的函数关系为

S = vt.

当t = 1.5时，S = 90，则v = 60.

因此所求的函数关系为S=60t，

当t = 3时，S = 180，

所以汽车3h所行驶的路程为180km.

2．已知某食品5kg价格为40元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求8kg食品的价格是多少元.

解：设食品的重量为xkg，则食品的价格y元与重量xkg之间的函数关系式为y=8x，当x = 8时，y = 64，

所以当8kg食品的价格为64元.

3．有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长．宽各为多少时，这块菜地的面积最大？

解：设矩形菜地与墙相对的一边长为xcm，则另一组对边的长为m，从而矩形菜地的面积为：

当x = 150时，Smax = 11250.

即当矩形的长为150m，宽为75m时，菜地的面积最大.

4．某市一种出租车标价为1.20元/km，但事实上的收费标准如下：最开始4km内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km后到15km之间，每公里收费1.20元，15km后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f与打车路程x之间的函数关系.

解：所求函数的关系式为

．

【课后提升】

1．某游艺场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？

解：根据题意，每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的函数关系是：

（1）当0≤x≤400时，由3.75x=750，得x=200.

（2）当400≤x≤600时，由1.25x + 1000 = 750，得x = – 200 (舍去).

综合（1）和（2），盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张.

答：当天售出的门票数为200张时盈利额为750元.

2．某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适．

解：当A、B距离在起步价以内时，选择第二种方案；

　　当A、B距离在（a，a＋10）时，选择第二种方案；

　　当A、B距离恰好为a＋10时，选择两种方案均可以；

　　当A、B距离大于a＋10时，选择第一种方案．

（其中a为起步价内汽车行驶的里程）

3．某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少 t万件．

　　（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；

　　（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？

解:（1）设每年销售是x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税金为y＝250x·t％．

　　依题意，x＝40－t．

　　所求的函数关系式为y＝250（40－t）t％．

　　（2）依题意，250（40－t）·t％≥600，即t2－25t＋150≤0，

　　∴10≤t≤15．

即税率应控制在10％～15％之间为宜．

4．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？

解：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：

　　设每天从报社买进x份（250≤x≤400）．

　　则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）．

　　y在x［250，400］上是一次函数．

　　∴x＝400元时，y取得最大值870元．

　　答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．

【解后反思】自变量x的取值范围［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘．

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