高中数学苏教版必修13.4.2 函数模型及其应用教案

函数模型及其应用

教学目标：

使学生从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．

教学重点：

一是实际问题数学化，二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解.

教学难点：

实际问题数学化.

教学过程：

［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？

　　解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：

　　设每天从报社买进x份（250≤x≤400）．

　　则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）．

　　y在x［250，400］上是一次函数．

　　∴x＝400元时，y取得最大值870元．

　　答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．

点评：自变量x的取值范围［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘．

　 ［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．

　　答案：当A、B距离在起步价以内时，选择第二种方案；

　　当A、B距离在（a，a＋10）时，选择第二种方案；

　　当A、B距离恰好为a＋10时，选择两种方案均可以；

　　当A、B距离大于a＋10时，选择第一种方案．

（其中a为起步价内汽车行驶的里程）

点评：信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．

　　［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和

　　解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故取出2（1＋8％）3（1＋2％）6万元．

　  ［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（　　）

　　解析：由于d0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A、C选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B，故只能选择D．

　　［例5］容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度

　　　　　（1－）10·m％

　　总结解应用题的策略：

一般思路可表示如下：

　　因此，解决应用题的一般程序是：

　　①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

　　②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

　　③解模：求解数学模型，得出数学结论；

　　④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．

　　［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少 t万件．

　　（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；

　　（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？

　　解析：（1）设每年销售是x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税金为y＝250x·t％．

　　依题意，x＝40－t．

　　所求的函数关系式为y＝250（40－t）t％．

　　（2）依题意，250（40－t）·t％≥600，即t2－25t＋150≤0，

　　∴10≤t≤15．

即税率应控制在10％～15％之间为宜．

注意点：

1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
　　2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．
　　3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．

本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．

　　［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？

　　解析：设每个涨价x元，则实际销售价为（10＋x）元，销售的个数为（100－10x），则利润为y＝（10＋x）（100－10x）－8（100－10x）＝－10（x－4）2＋360（0≤x≤10）．

　　因此x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．

　　［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m．

解析：设PO＝x，

则S＝－（x－190）2＋×1902，0＜x＜200，

即x＝190时，最大面积为24067m2．

　  总结：

解决函数应用题的流程图是：

　　解决函数应用题的基本步骤是：

　　第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成实际问题，即实际问题数学化．

　　第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解．

　　第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答．

课后练习

　　1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（　　）

　　A．5～7km　 　　　B．9～11km 　　　　C．7～9km　　 　　　D．3～5km

　　答案：A

　　2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（　　）（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）

　　A．5　　 　　　    B．10　　　　    C．14　　　 　　　 D．15

　　答案：C

　　3．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．

　　解析：设矩形宽为xm，则矩形长为（200－4x）m，

则矩形面积为

S＝x（200－4x）＝－4（x－25）2＋2500（0＜x＜50），

　　∴x＝25时，S有最大值2500m2．

　　4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？

　　解答：设两家旅行社的原价为a（a＞0），家庭孩子个数为x（xN*），甲、乙两家旅行收费分别为f（x）和g（x），

　　则f（x）＝a＋（x＋1）·＝x＋a（xN*），

　　g（x）＝（x＋2）·＝x＋（xN*），

　　g（x）≥f（x），得 x＋≤x＋，∴x≥1．

　　因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社．

　　5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：

　　根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝．

　　试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

　　（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于的优惠率？

　　答案：（1）优惠率为33％；

　　（2）标价在［625，750］内的商品，购买时可获得不小于的优惠率．

　　6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t的函数，且销售量近似地满足关系g（t）＝－t＋，（tN，0＜t≤100），在前40天里价格为f（t）＝t＋22（tN，0＜t≤40），在后60天里价格为f（t）＝－t＋52（tN，40＜t≤100），求这种商品的日销售额的最大值．

　　解析：由题意知，当0＜t≤40，h（t）＝－（t－10.5）2＋；

　　当40＜t≤100，h（t）＝（t－106.5）2－；∴t＝10或11时，这种商品的日销售额的最大值为808.5．

第30、31课时  函数模型及其应用

［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？

　 ［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．

　　［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和

　  ［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（　　）

　　［例5］容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度

　　［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少 t万件．

　　（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；

　　（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？

　　［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？

　　［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m．

课后练习

　　1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（　　）

　　A．5～7km　 　　　B．9～11km 　　　　C．7～9km　　 　　　D．3～5km

　 2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（　　）（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）

　　A．5　　 　　　    B．10　　　　    C．14　　　 　　　 D．15

　 3．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．

　　4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？

　　5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：

　　根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝．

　　试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

　　（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于的优惠率？

　　6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t的函数，且销售量近似地满足关系g（t）＝－t＋，（tN，0＜t≤100），在前40天里价格为f（t）＝t＋22（tN，0＜t≤40），在后60天里价格为f（t）＝－t＋52（tN，40＜t≤100），求这种商品的日销售额的最大值．