2013-2014学年高二数学湘教版选修2-2：6.3知能演练轻松闯关教案

1.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1时，等式左边的项是(　　)

A．1　　　　　　　　　  B．1＋a

C．1＋a＋a2      D．1＋a＋a2＋a3

解析：选C.当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.将n＝1代入可得．

2.(2012·荣昌质检)某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N＋)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得(　　)

A．当n＝4时命题不成立   B．当n＝6时命题不成立

C．当n＝4时命题成立    D．当n＝6时命题成立

解析：选A.因为当n＝k(k∈N＋)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立， 那么当n＝5时命题也成立，则与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．

3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时第二步的归纳假设应写成(　　)

A．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋3时正确

B．假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋1时正确

C．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋1时正确

D．假设n＝k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确

解析：选B.因为n为正奇数，根据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1时正确．

4.(2012·梁平检测)用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．

解析：观察不等式中的分母变化知，＋＋…＋＋＋>－.

答案：＋＋…＋＋＋>－

一、选择题

1.若A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则有(　　)

A．命题对所有正整数都成立

B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立

C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立

D．以上说法都不正确

解析：选C.由已知得n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.

2.(2011·高考江西卷改编)观察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52012的末四位数字为(　　)

A．3125      B．5625

C．0625      D．8125

解析：选C.∵55＝3125，56＝15625，57＝78125，

58末四位数字为0625，59末四位数字为3125，

510末四位数字为5625，511末四位数字为8125，

512末四位数字为0625，…，

由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，

∴52012＝54×503末四位数字为0625.

3.(2012·南开检测)对于不等式 <n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：

(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，不等式成立，

即 <k＋1.

则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1.

即当n＝k＋1时，不等式成立．则上述证法(　　)

A．过程全部正确

B．n＝1验证不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

解析：选D.本题的证明中，从n＝k到n＝k＋1的推理没有用到归纳假设，所以本题不是用数学归纳法证题．

4.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是(　　)

A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立

B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立

C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立

D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立

解析：选D.对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误．对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.

5.利用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N＋，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是(　　)

A．增加了这一项

B．增加了和两项

C．增加了和两项，同时减少了这一项

D．以上都不对

解析：选C.不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左端为＋＋＋…＋＋＋，对比两式，可得结论．

6.(2012·秀山调研)下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是(　　)

A．6＋6·7k  B．2＋7k－1

C．2(2＋7k＋1)  D．3 (2＋7k)

解析：选D.①当k＝1时，

显然只有3(2＋7k)能被9整除．

②假设当k＝n(n∈N＋)时命题成立，

即3(2＋7n)能被9整除，

则3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36，

即当k＝n＋1时命题也成立．

由①②知命题对k∈N＋都成立．

二、填空题

7.分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的过程中的错误：________________．

证明：假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．

答案：缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立

8.数列{an}中，a1＝1且Sn，Sn＋1，2S1成等差数列，若Sn表示数列{an}的前n项和，则S2，S3，S4分别为________，由此猜想Sn＝________．

解析：由Sn，Sn＋1，2S1成等差数列得Sn＋1＝＝＋1，

故S2＝＋1＝＋1＝，S3＝＋1＝，

S4＝＋1＝，由此可猜想Sn＝.

答案：，，　

9.(2012·北碚调研)已知f(n)＝＋＋＋…＋，则该式的右边共有________项；f(2)＝________．

解析：由题意得f(n)＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋，故该式的右边共有n2－n＋1项；其中f(2)＝＋＋＝.

答案：n2－n＋1　

三、解答题

用数学归纳法证明：

当n≥2，n∈N＋时，(1－)(1－)(1－)…(1－)＝.

证明： (1)当n＝2时，左边＝1－＝，

右边＝＝，∴n＝2时等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，

即(1－)(1－)(1－)…(1－)＝，

那么当n＝k＋1时，

(1－)(1－)(1－)…(1－)[1－]

＝·[1－]

＝＝

＝.

∴当n＝k＋1时，等式也成立．

根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N＋，等式都成立．

(创新题)设n∈N＋，n>1，用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋ > .

证明：令f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋，n>1)．

①当n＝2时，f(2)＝1＋ > ，不等式成立．

②假设n＝k(k∈N＋，k≥2)时，不等式成立，

即f(k)＝1＋＋＋…＋>，

则当n＝k＋1时，

有f(k＋1)＝f(k)＋ > ＋

＝>＝.

∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

综合①②知，原不等式对任意的n∈N＋(n>1)都成立．

.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－.

(1)设c＝，bn＝，求数列{bn}的通项公式；

(2)求使不等式an<an＋1<3成立的c的取值范围．

解：(1)an＋1－2＝－－2＝，

＝＝＋2，

即bn＋1＝4bn＋2.

所以bn＋1＋＝4(bn＋)，

又a1＝1，故b1＝＝－1.

所以{bn＋}是首项为－，公比为4的等比数列，bn＋＝×4n－1，bn＝－－.

(2)a1＝1，a2＝c－1，由a2>a1，得c>2.

用数学归纳法证明：当c>2时，an<an＋1.

①当n＝1时，a2＝c－>a1，命题成立；

②假设当n＝k(k∈N＋)时，ak<ak＋1，

则当n＝k＋1时，ak＋2＝c－>c－＝ak＋1.

故由①②知，当c>2时，an<an＋1.

当c>2时，令α＝，

由an＋<an＋1＋＝c得an<α；

当2<c≤时，an<α≤3.

当c>时，α>3，且1≤an<α，于是

α－an＋1＝(α－an)<(α－an)，

α－an＋1<(α－1)．

所以当n>log3时，α－an＋1<α－3，an＋1>3.

因此c>不符合要求．

所以c的取值范围是(2，]．