高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.1 基本计数原理教案

高考计数原理考点分析

计数原理与实际生活联系紧密，思考方法和解题方法与其它内容有很大不同，具有“四强”特点，即概念性强、抽象性强、实用性强、灵活性强，在每年高考中是必考内容．本文归纳总结了高考常见考查方式，以供参考．

　　考点1　考查两个原理的直接应用问题

　　例1  将3种作物种植在如下图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有_______种．（以数字作答）

　　解析：分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设种a，再安排第二块田种b或c有2种方法，不妨设种b，第三块田也有2种方法种a或c．

　　（1）若第三块田种c：

则第四、五块田分别有2种方法，共有2×2种方法．

　　（2）若第三块田种a：

第四块田仍有2种方法．

　　①若第四块田种c：

第五块田仍有2种方法．

　　②若第四块田种b：

则第五块田只能种c，共有3种方法．

　　综上，共有种方法．

　　评注：两个原理是解决排列、组合应用题的基础，应用两个原理时，关键是根据自己对问题的分析，先分类再分步．

　　考点2考查特殊元素或特殊位置的优先考虑问题

　　例2  从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个．

　　解析：符合条件的四位数的个位必须是0，5，但不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排，按照0排在个位，0排在十、百位和不含0为标准分为三类：

　　①0排在个位能被5整除的四位数有个；

　　②0排在十、百位，但5必须排在个位有个；

　　③不含0，但5必须排在个位有个．

　　由分类加法计数原理得所求四位数共有300个．

　　评注：若排列中有特殊元素或特殊位置时，一般既可先处理特殊元素，也可先处理特殊位置，依据具体情况而定，在本题中0，5是特殊元素，首位和末位是特殊位置．

　　考点3　考查相邻排列计算问题

　　例3　有件不同的产品排成一排，若其中两件不同的产品排在一起的排法有48种，则________．

　　解析：将两件产品看作一个大元素，与其他产品排列有种排法；对于上述的每种排法，两件产品之间又有种排法，由分步乘法计数原理得满足条件的不同排法有种，故．

　　评注：对于含有某几个元素相邻的排列问题可先将相邻元素“捆绑”起来视为一个元素，与其他元素一起进行全排列，然后再对相邻元素内部进行全排列，这就是处理相邻排列问题的“捆绑”法．

　　考点4　考查互不相邻排列计算问题

　　例4　有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2个人不左右相邻，那么不同排法的种数是（　　）

　　Ａ．234  Ｂ．346  Ｃ．350  Ｄ．363

　　解析：∵前排中间3个座位不能坐，

　　∴实际可坐的位置前排8个，后排12个．

　　（1）两人一个前排，一个后排方法数为．

　　（2）两人均在后排，安排2人的座位插入10个座位之间的空隙及两边，共有种排法．

　　（3）两人均在前排，又分两类：

　　①两人一左一右，有种排法；

　　②两人同左或同右时，有种排法．

　　综上，不同排法的种数为．故选答案Ｂ．

　　评注：对于含有某几个元素互不相邻的排列问题，可先将其他元素排成一排，然后将不相邻的元素插入这些排好的元素之间及两端的空隙中，这就是解决互不相邻问题最为奏效的“插空”法．

　　考点5　考查排列、组合混合计算问题

　　例5　某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（　　）

　　Ａ．234  Ｂ．346  Ｃ．350  Ｄ．363

    解析：把新转来的4名学生平均分两组，每组2人，分法有种，把这两组人安排到6个班中的某2个中去，有种方法，故不同的安排种数为，故选答案Ｂ．

　　评注：对于排列组合混合问题，可运用先分组后排列的策略求解．无次序分组问题常有“均匀分组、部分均匀分组、非均匀分组”等三种类型．计数时常有下面结论：对于其中的“均匀分组”和“部分均匀分组”问题，只需按“非均匀分组”列式后，再除以均匀组数的全排列数．

　　考点6　考查排列、组合有关的几何计算问题

　　例6　 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（　　）

　　Ａ．56  Ｂ．52  Ｃ．48  Ｄ．40

    解法一：从正方体的8个顶点中任取3个顶点可构成个三角形，其中非直角三角形的有两类：

　　①上底面的每个顶点所在的侧面对角线与下底面相应的对角线构成1个正三角形，上底面的4个顶点共构成4个非直角三角形；

　　②下底面的4个顶点所在的侧面对角线与上底面相应的对角线构成4个非直角三角形．故所求直角三角形共有个．故选答案Ｃ．

　　解法二：正方体的6个表面及6个对角面都是矩形，而每个矩形可构成个直角三角形，故共有直角三角形个．故选答案Ｃ．

　　评注：求解几何图形问题时，一要熟悉几何图形的性质及点、线、面的位置关系；二要按同一标准分类，避免重漏；三若直接求解困难或头绪繁多时，可从其反面去考虑，将其转化为简单的问题去解决．

　　考点7　考查二项式定理指定项的求法问题

　　例7　若的展开式中存在常数项，则n的值可以是（　　）

　　Ａ．8  Ｂ．9  Ｃ．10  Ｄ．12

    解析：的展开式中的第项是．

　　若存在常数项，则，即，当时，，所以可以是10，故选答案Ｃ．

　　评注：求二项式定理的指定项，关键是抓住展开式中的通项公式，就可由题设确定通项公式中的指数或项数，进而求出r，从而求出其指定项．

　　考点8　考查与二项式系数和有关问题

　　例8　若的展开式中各项系数的和是256，则展开式中的系数是　　　　　．

　　解析：令，得展开式各项系数之和为．

　　解得，所以的系数是．

　　评注：转换视角，把展开式看作一个代数恒等式，通过令变量取不同的值得到所需结果，是解决这一类问题的通法．

　　考点9　考查应用二项式定理进行估值或对不等式进行放缩问题

　　例9　农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成．2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6％的年增长率增长，其它收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（　　）

    Ａ．4200元～4400元  Ｂ．4400元～4600元

Ｃ．4600元～4800元  Ｄ．4800元～5000元

解析：2008年农民工资性人均收入为

元．

　　又2008年农民其它人均收入为元，故2008年农民人均总收入为元，故选答案Ｂ．

　　评注：应用二项式定理进行估计或对不等式进行放缩在近年高考题中屡见不鲜，其中的难点在于不知舍去多少项就满足要求，这需要根据所给数据大小来仔细确定．

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