高中数学人教版新课标A选修1-12.3抛物线教案

这是一份高中数学人教版新课标A选修1-12.3抛物线教案，共7页。教案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．平面内到定点F的距离等于到定直线l的距离的点的轨迹是( )
A．抛物线
B．直线
C．抛物线或直线
D．不存在
[答案] C
[解析] 当F∈l上时，是直线，当F∉l上时，是抛物线．
2．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是( )
A．y2＝eq \f(9,4)x
B．x2＝eq \f(4,3)y
C．y2＝－eq \f(9,4)x或x2＝－eq \f(4,3)y
D．y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y
[答案] D
[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，
∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，
∴9＝4p，p＝eq \f(9,4)，4＝6p′，p′＝eq \f(2,3).
3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )
A.eq \f(1,8)
B．－eq \f(1,8)
C．8
D．－8
[答案] B
[解析] ∵y＝ax2，∴x2＝eq \f(1,a)y，其准线方程为y＝2，
∴a<0,2＝eq \f(1,－4a)，∴a＝－eq \f(1,8).
4．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A.eq \f(17,16)
B.eq \f(15,16)
C.eq \f(7,8)
D．0
[答案] B
[解析] ∵抛物线y＝4x2的焦点坐标为(0，eq \f(1,16))，准线方程为y＝－eq \f(1,16)，由抛物线的定义知yM＋eq \f(1,16)＝1，
∴yM＝eq \f(15,16).
5．抛物线y2＝8px(p>0)，F为焦点，则p表示( )
A．F到准线的距离
B．F到准线距离的eq \f(1,4)
C．F到准线距离的eq \f(1,8)
D．F到y轴的距离
[答案] B
[解析] 设y2＝2mx(m>0)，则m表示焦点到准线的距离，又2m＝8p，∴p＝eq \f(m,4).
6．抛物线y＝eq \f(1,4a)x2(a≠0)的焦点坐标为( )
A．a>0时为(0，a)，a<0时为(0，－a)
B．a>0时为(0，eq \f(a,2))，a<0时为(0，－eq \f(a,2))
C．(0，a)
D．(eq \f(1,a)，0)
[答案] C
[解析] a>0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)；a<0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)，这时焦点在y轴负半轴上．故不论a为何值，x2＝4ay的焦点总为(0，a)，故选C.
7．(2010·福建理，2)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2＋2x＝0
B．x2＋y2＋x＝0
C．x2＋y2－x＝0
D．x2＋y2－2x＝0
[答案] D
[解析] ∵抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)．
∴圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
8．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在
[答案] B
[解析] 当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．
因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，
设直线方程为y＝k(x－1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－1),y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)＝5，∴k2＝eq \f(4,3)，即k＝±eq \f(2\r(3),3).
因而这样的直线有且仅有两条．
9．抛物线y2＝8x上一点P到x轴距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为( )
A．20
B．8
C．22
D．24
[答案] A
[解析] 设P(x0,12)，则x0＝18，
∴|PF|＝x0＋eq \f(p,2)＝20.
10．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是( )
A.eq \f(4,3)
B.eq \f(7,5)
C.eq \f(8,5)
D．3
[答案] A
[解析] 设(x0，y0)为抛物线y＝－x2上任意一点，
∴y0＝－xeq \\al(2,0)，
∴d＝eq \f(|4x0＋3y0－8|,5)＝eq \f(|－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(2,3)))2－\f(20,3)|,5)，
∴dmin＝eq \f(\f(20,3),5)＝eq \f(4,3).
二、填空题
11．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________.
[答案] 2
[解析] 抛物线的准线方程为：x＝－eq \f(p,2)，圆心坐标为(3,0)，半径为4，由题意知3＋eq \f(p,2)＝4，∴p＝2.
12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝________.
[答案] 8
[解析] 由抛物线定义，得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是________．
[答案] y2＝8x
[解析] 由题意可设抛物线方程为y2＝2ax，
∵点P(2,4)在抛物线上，∴42＝4a，∴a＝4.
即所求抛物线的方程为y2＝8x.
14．在抛物线y2＝12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
[答案] (6，±6eq \r(2))
[解析] 设抛物线的焦点F(3,0)，准线x＝－3，抛物线上的点P，满足|PF|＝9，设P(x0，y0)，
则|PF|＝x0＋eq \f(P,2)＝x0＋3＝9，∴x0＝6，∴y0＝±6eq \r(2).
三、解答题
15．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：
(1)y2＝6x；
(2)2y2＋5x＝0；
(3)x＝ay2(a≠0)．
[解析] (1)∵2p＝6，∴p＝3.
又∵开口向右，∴焦点坐标是(eq \f(3,2)，0)，
准线方程为x＝－eq \f(3,2).
(2)将2y2＋5x＝0变形为y2＝－eq \f(5,2)x.
∴2p＝eq \f(5,2)，p＝eq \f(5,4)，开口向左．
∴焦点为(－eq \f(5,8)，0)，准线方程为x＝eq \f(5,8).
(3)∵原抛物线方程为y2＝eq \f(1,a)x，∴2p＝eq \f(1,|a|).
当a>0时，eq \f(p,2)＝eq \f(1,4a)，抛物线开口向右，焦点坐标为(eq \f(1,4a)，0)，准线方程为x＝－eq \f(1,4a)；
当a<0时，eq \f(p,2)＝－eq \f(1,4a)，抛物线开口向左，焦点坐标为(eq \f(1,4a)，0)，准线方程为x＝－eq \f(1,4a).故当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为(eq \f(1,4a)，0)，准线方程为x＝－eq \f(1,4a).
16．已知抛物线过点(1，－2)，求抛物线的标准方程．
[解析] ∵点(1，－2)在第四象限，
∴设抛物线的标准方程为：
y2＝2px(p>0)或x2＝－2p′y(p′>0)，
又点(1，－2)在抛物线上，
∴4＝2p，p＝2，或1＝4p′，p′＝eq \f(1,4)，
故所求抛物线方程为：y2＝4x或x2＝－eq \f(1,2)y.
17．求证：以抛物线y2＝2px过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切．
[证明] 如图，过A、B分别作AC、BD垂直于l，垂足为C、D，取AB中点M，作MH⊥l于H.
由抛物线定义，知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.
∴|AB|＝|AC|＋|BD|.
又ACDB是梯形，MH是其中位线，
∴|MH|＝eq \f(1,2)(|AC|＋|BD|)＝eq \f(1,2)|AB|.∴|MH|是圆M的半径，从而命题得证．
18．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，求eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)的值．
[解析] 已知焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
设AB方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，与y2＝2px联立，
得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq \f(k2p2,4)＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)，且x1＋x2＝eq \f(k2p＋2p,k2)，x1x2＝eq \f(p2,4).
∴eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,x1＋\f(p,2))＋eq \f(1,x2＋\f(p,2))
＝eq \f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)(x1＋x2)＋\f(p2,4))
＝eq \f(\f(k2p＋2p,k2)＋p,\f(p2,4)＋\f(p,2)·\f(k2p＋2p,k2)＋\f(p2,4))＝eq \f(2,p)(为定值)．