2020-2021学年2.1椭圆教案设计

这是一份2020-2021学年2.1椭圆教案设计，共15页。

1.(文)(2011·东莞模拟)设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
[答案] D
[解析] ∵a2＝25，∴a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
(理)(2011·浙江五校联考)椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为( )
A．32 B．16
C．8 D．4
[答案] B
[解析] 由题设条件知△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16.
2．(文)(2011·岳阳月考)椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4＋k)＝1的离心率为eq \f(4,5)，则k的值为( )
A．－21 B．21
C．－eq \f(19,25)或21 D.eq \f(19,25)或21
[答案] C
[解析] 若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝eq \r(5－k)，由eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)即eq \f(\r(5－k),3)＝eq \f(4,5)，得k＝－eq \f(19,25)；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝eq \r(k－5)，
由eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，即eq \f(\r(k－5),\r(4＋k))＝eq \f(4,5)，解得k＝21.
(理)(2011·广东省江门市模拟)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1、B2，焦点为F1、F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则这个椭圆的离心率e等于( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．以上都不是
[答案] A
[解析] 画出草图(图略)，根据题意可得e＝eq \f(c,a)＝cs45°＝eq \f(\r(2),2)，故选A.
3．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵方程mx2＋ny2＝1，即eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴需有：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,m)>0,\f(1,n)>0,\f(1,m)n>0，故互为充要条件．
4．(文)(2011·抚顺六校检测)椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在椭圆上，eq \(MF1,\s\up15(→))·eq \(MF2,\s\up15(→))＝0，则M到y轴的距离为( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \f(2\r(6),3)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
[答案] B
[分析] 条件eq \(MF1,\s\up15(→))·eq \(MF2,\s\up15(→))＝0，说明点M在以线段F1F2为直径的圆上，点M又在椭圆上，通过方程组可求得点M的坐标，即可求出点M到y轴的距离．
[解析] 椭圆的焦点坐标是(±eq \r(3)，0)，点M在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝3，即y2＝3－x2，代入椭圆得eq \f(x2,4)＋3－x2＝1，解得x2＝eq \f(8,3)，即|x|＝eq \f(2\r(6),3)，此即点M到y轴的距离．
[点评] 满足eq \(MF,\s\up15(→))·eq \(MB,\s\up15(→))＝0(其中A，B是平面上两个不同的定点)的动点M的轨迹是以线段AB为直径的圆．
(理)(2011·河北石家庄一模)已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1的焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若连接F1，F2，P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是( )
A.eq \f(16,5) B．3
C.eq \f(16,3) D.eq \f(25,3)
[答案] A
[解析] F1(0，－3)，F2(0,3)，∵3b，则椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e等于( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(13),3)
C.eq \f(\r(5),3) D.eq \r(13)
[答案] C
[解析] 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝5,a·b＝6))，又因为a>b，
所以解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3,b＝2))，所以椭圆的半焦距为c＝eq \r(5)，
所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3)，故选C.
(理)(2011·杭州二检、江西七校联考)如下图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2>a1c2；④eq \f(c1,a1)a2，a2>c2，∴c1a2－a1c2>0，即c1a2>a1c2，故③正确，故选B.
7．(文)(2011·南京模拟)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一点，若eq \(PF1,\s\up15(→))·eq \(PF2,\s\up15(→))＝0，tan∠PF1F2＝eq \f(1,2)，则此椭圆的离心率为________．
[答案] eq \f(\r(5),3)
[解析] ∵eq \(PF1,\s\up15(→))·eq \(PF2,\s\up15(→))＝0，∴PF1⊥PF2，
在Rt△PF1F2中，tan∠PF1F2＝eq \f(|PF2|,|PF1|)＝eq \f(1,2)，
设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，
由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a，∴x＝eq \f(2a,3)，
∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴x2＋4x2＝4c2，
∴eq \f(20,9)a2＝4c2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3).
(理)已知eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝1(m>0，n>0)，则当mn取得最小值时，椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1的离心率是________．
[答案] eq \f(\r(3),2)
[解析] ∵m>0，n>0
∴1＝eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)≥2eq \r(\f(2,mn))，
∴mn≥8，当且仅当eq \f(1,m)＝eq \f(2,n)，即n＝2m时等号成立，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝2m,mn＝8))，解得m＝2，n＝4.
即当m＝2，n＝4时，mn取得最小值8，
∴离心率e＝eq \f(\r(n2－m2),n)＝eq \f(\r(3),2).
8．(文)已知实数k使函数y＝cskx的周期不小于2，则方程eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,k)＝1表示椭圆的概率为________．
[答案] eq \f(1,2)
[解析] 由条件eq \f(2π,|k|)≥2，∴－π≤k≤π，
当00，b>0)的面积为πab，M包含于平面区域Ω：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x|≤2,|y|≤\r(3)))内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为eq \f(π,4)，则椭圆M的方程为________．
[答案] eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
[解析] 平面区域Ω：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x|≤2,|y|≤\r(3)))是一个矩形区域，如下图所示，
依题意及几何概型，可得eq \f(πab,8\r(3))＝eq \f(π,4)，
即ab＝2eq \r(3).
因为0b>0，那么以a1、a2、b为边长的三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
[答案] B
[解析] 12＝eeq \\al(2,1)eeq \\al(2,2)＝eq \f(c\\al(2,1),a\\al(2,1))·eq \f(c\\al(2,2),a\\al(2,2))＝eq \f(a\\al(2,1)＋b2,a\\al(2,1))·eq \f(a\\al(2,2)－b2,a\\al(2,2))，则aeq \\al(2,1)aeq \\al(2,2)＝aeq \\al(2,1)aeq \\al(2,2)＋(aeq \\al(2,2)－aeq \\al(2,1))b2－b4，所以aeq \\al(2,2)－aeq \\al(2,1)＝b2，则以a1、a2、b为边长的三角形是以a2为斜边的直角三角形，故选B.
13．过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为________．
[答案] eq \f(\r(2),2)
[解析] 因为∠AOB＝90°，所以∠AOF＝45°，所以eq \f(b,a)＝eq \f(\r(2),2)，所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，即e＝eq \f(\r(2),2).
14．(2011·北京模拟)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2 ：eq \r(3).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当|eq \(MP,\s\up15(→))|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
[解析] (1)设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
由题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝b2＋c2,a：b＝2：\r(3),c＝2))，
解得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1，故－4≤x≤4.
因为eq \(MP,\s\up15(→))＝(x－m，y)，
所以|eq \(MP,\s\up15(→))|2＝(x－m)2＋y2
＝(x－m)2＋12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x2,16))).
＝eq \f(1,4)x2－2mx＋m2＋12＝eq \f(1,4)(x－4m)2＋12－3m2.
因为当|eq \(MP,\s\up15(→))|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，
即当x＝4时，|eq \(MP,\s\up15(→))|2取得最小值．而x∈[－4,4]，
故有4m≥4，解得m≥1.
又点M在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4.
故实数m的取值范围是m∈[1,4]．
15．(文)(2010·山东省实验中学)已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A、B，且eq \(AP,\s\up15(→))＝2eq \(PB,\s\up15(→)).
(1)求椭圆方程；
(2)求m的取值范围．
[解析] (1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意知a＝2，b＝c，
又a2＝b2＋c2，则b＝eq \r(2)，所以椭圆方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,2)＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线l的斜率存在，
设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＋2x2＝4,y＝kx＋m))，消去y得，
(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk)2－4(2－k2)(m2－4)>0
由韦达定理知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(2mk,2＋k2),x1·x2＝\f(m2－4,2＋k2)))，
又eq \(AP,\s\up15(→))＝2eq \(PB,\s\up15(→))，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，
∴－x1＝2x2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－x2,x1x2＝－2x\\al(2,2)))，
∴eq \f(m2－4,2＋k2)＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2mk,2＋k2)))2
整理得(9m2－4)k2＝8－2m2
又9m2－4＝0时不成立，所以k2＝eq \f(8－2m2,9m2－4)>0
得eq \f(4,9)b>0)
∵e＝eq \f(1,2)，即eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，∴a＝2c
又b2＝a2－c2＝3c2
∴椭圆方程为eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1.又∵椭圆过点A(2,3)
∴eq \f(4,4c2)＋eq \f(9,3c2)＝1，解得c2＝4，∴椭圆方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
(2)法一：由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴直线AF1的方程y＝eq \f(3,4)(x＋2)，即3x－4y＋6＝0，
直线AF2的方程为x＝2.
设P(x，y)为角平分线上任意一点，则点P到两直线的距离相等．
即eq \f(|3x－4y＋6|,5)＝|x－2|
∴3x－4y＋6＝5(x－2)或3x－4y＋6＝5(2－x)
即x＋2y－8＝0或2x－y－1＝0.
由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F1AF2的平分线所在直线方程为2x－y－1＝0.
法二：设AM平分∠F1AF2，则直线AF1与直线AF2关于直线AM对称．
由题意知直线AM的斜率存在且不为0，设为k.
则直线AM方程y－3＝k(x－2)．
由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴直线AF1方程为y＝eq \f(3,4)(x＋2)，即3x－4y＋6＝0
设点F2(2,0)关于直线AM的对称点F2′(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0,x0－2)＝－\f(1,k),\f(y0,2)－3＝k\f(x0＋2,2)－2))
解之得F2′(eq \f(－6k＋2k2＋2,1＋k2)，eq \f(6,1＋k2))．
∵直线AF1与直线AF2关于直线AM对称，
∴点F2′在直线AF1上．
即3×eq \f(－6k＋2k2＋2,1＋k2)－4×eq \f(6,1＋k2)＋6＝0.
解得k＝－eq \f(1,2)或k＝2.
由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，
∴k＝－eq \f(1,2)(舍去)．
故∠F1AF2的角平分线所在直线方程为2x－y－1＝0.
法三：∵A(2,3)，F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴eq \(AF1,\s\up15(→))＝(－4，－3)，eq \(AF2,\s\up15(→))＝(0，－3)，
∴eq \f(\(AF1,\s\up15(→)),|\(AF2,\s\up15(→))|)＋eq \f(\(AF2,\s\up15(→)),|\(AF2,\s\up15(→))|)＝eq \f(1,5)(－4，－3)＋eq \f(1,3)(0，－3)
＝－eq \f(4,5)(1,2)，
∴kl＝2，∴l：y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0.
[点评] 因为l为∠F1AF2的平分线，∴eq \(AF1,\s\up15(→))与eq \(AF2,\s\up15(→))的单位向量的和与l共线．从而可由eq \(AF1,\s\up15(→))、eq \(AF2,\s\up15(→))的单位向量求得直线l的一个方向向量，进而求出其斜率．
1．已知F是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为( )
A．6 B．15
C．20 D．12
[答案] D
[解析] S＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|≤eq \f(1,2)|OF|·2b＝12.
2．(2010·北京西城区)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] B
[解析] 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，
∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．
3．若直线mx＋ny＝4和圆x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数为( )
A．至多一个 B．2个
C．1个 D．0个
[答案] B
[解析] ∵直线与圆无交点，∴eq \f(4,\r(m2＋n2))>2，∴m2＋n2b>0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若3eq \(DF1,\s\up15(→))＝eq \(DA,\s\up15(→))＋2eq \(DF2,\s\up15(→))，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,5)
[答案] D
5．(2010·宁波余姚)如果AB是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为( )
A．e－1 B．1－e
C．e2－1 D．1－e2
[答案] C
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，
由点差法，eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，eq \f(x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,2),b2)＝1，作差得
eq \f(x1－x2x1＋x2,a2)＝eq \f(y2－y1y2＋y1,b2)，
∴kAB·kOM＝eq \f(y2－y1,x2－x1)·eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq \f(－b2,a2)＝eq \f(c2－a2,a2)＝e2－1.
故选C.
6．(2011·江西理，14)若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的焦点在x轴上，过点(1，eq \f(1,2))作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
[答案] eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
[解析] 点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))在圆外，过点(1，eq \f(1,2))与圆相切的一条直线方程为x＝1，一个切点为(1,0)，
设另一条切线的方程为y＝m(x－1)＋eq \f(1,2)，
由eq \f(|－m＋\f(1,2)|,\r(1＋m2))＝1得m＝－eq \f(3,4)，故另一条切线的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,4)代入圆的方程联立解得切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))，则直线AB的方程为y＝－2x＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c＝1，b＝2，a＝eq \r(5)，所求椭圆方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1.
[点评] 直接设另一条切线的切点为(m，n)，解得切点坐标(eq \f(3,5)，eq \f(4,5))更简便．