人教版新课标A必修52.4 等比数列教学设计

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2013年高考数学总复习 6-3 等比数列但因为测试 新人教B版 1.(2011·北京朝阳一模)已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和，若a1＝3，a2a4＝144，则S5的值是(　　)A.　　 　 B．69　　　　C．93　　　　 D．189[答案]　C[解析]　由a2a4＝a＝144得a3＝12(a3＝－12舍去)，又a1＝3，各项均为正数，则q＝2.所以S5＝＝＝93.2．(2011·潍坊一中期末、湖南湘西联考)各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)A.   B.C.   D.或[答案]　B[解析]　∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝.∴＝＝.3．(文)(2011·青岛一模)在等比数列{an}中，若a2＝9，a5＝243，则数列{an}的前4项和为(　　)A．81   B．120  C．168   D．192[答案]　B[解析]　设等比数列{an}的公比为q，根据题意及等比数列的性质可知：＝27＝q3，所以q＝3，所以a1＝＝3，所以S4＝＝120.(理)(2011·吉林长春模拟)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为(　　)A.   B.  C.   D.[答案]　B[解析]　∵9S3＝S6，∴8(a1＋a2＋a3)＝a4＋a5＋a6，∴8＝q3，∴q＝2，∴an＝2n－1，∴＝()n－1，∴{}的前5项和为＝，故选B.4．(2011·江西抚州市高三模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1、S3、S2成等差数列，则{an}的公比等于(　　)A.1   B.  C.－   D.[答案]　C[解析]　2S3＝S1＋S2，即2(a1＋a1q＋a1q2)＝a1＋a1＋a1q，得q＝－，故选C.5．(文)(2011·哈尔滨九中模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{an}的奇数项的前n项和为(　　)A.   B.  C.   D.[答案]　C[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.∴an＝2n－1(n∈N*)，则数列{an}的奇数项的前n项和为＝，故选C.(理)(2011·泉州市质检)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为(　　)A．12   B．14  C．15   D．16[答案]　D[解析]　＝q4＝2，由a1＋a2＋a3＋a4＝1.得a1(1＋q＋q2＋q3)＝1，即a1·＝1，∴a1＝q－1，又Sn＝15，即＝15，∴qn＝16，又∵q4＝2，∴n＝16.故选D.6．(2011·安徽皖南八校联考)设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q等于(　　)A．－   B．－C．－或－    D．－或－[答案]　C[解析]　集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q＝－或－.7．已知f(x)是一次函数，若f(3)＝5，且f(1)、f(2)、f(5)成等比数列，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)的值是________．[答案]　10000[解析]　设f(x)＝kx＋b，f(3)＝3k＋b＝5，由f(1)、f(2)、f(5)成等比数列得(2k＋b)2＝(k＋b)·(5k＋b)，可得k＝2，b＝－1.∴f (n)＝2n－1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝100×1＋×2＝10000.8．(文)(2010·安徽皖西四校联考)在公差不为零的等差数列{an}中，a1、a3、a7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{an}的通项an＝________.[答案]　n＋1[解析]　设等差数列首项a1，公差d，则∵a1、a3、a7成等比，∴a＝a1a7，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，又S7＝7a1＋d＝35d＝35，∴d＝1，∴a1＝2，∴an＝n＋1.(理)(2010·浙江金华)如果一个n位的非零整数a1a2…an的各个数位上的数字a1，a2，…，an或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a1a2…an为n位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)[答案]　27[解析]　适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．9．(2011·锦州模拟)在等比数列{an}中，若公比q>1，且a2a8＝6，a4＋a6＝5，则＝________.[答案]　[解析]　∵a2a8＝6，∴a4a6＝6，又∵a4＋a6＝5，且q>1，∴a4＝2，a6＝3，∴＝＝.10．(文)(2011·大纲全国文，17)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.[解析]　设{an}的公比为q，由已知有：.解得或(1)当a1＝3，q＝2时，an＝a1·qn－1＝3×2n－1Sn＝＝＝3×(2n－1)(2)当a1＝2，q＝3时，an＝a1·qn－1＝2×3n－1Sn＝＝＝3n－1.综上，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)或an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.(理)(2011·山东临沂一模)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(＋)，a3＋a4＝32(＋)．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝a＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1，由已知得a1＋a1q＝2(＋)，a1q2＋a1q3＝32(＋)．化简得即又∵a1>0，q>0，解得∴an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝a＋log2an＝4n－1＋(n－1)，∴Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n－1)＝＋＝＋.11.(文)(2011·辽宁六校模考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是(　　)A.   B.C.   D.[答案]　D[解析]　数列{an}为等比数列，由8a2＋a5＝0，知8a2＋a2q3＝0，因为a2≠0，所以q＝－2，＝q2＝4；＝＝；＝q＝－2；＝，其值与n有关，故选D.(理)(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为(　　)A.   B.C.   D.[答案]　A[解析]　设三内角A<B<C，∵sinA、sinB、sinC成等比数列，∴a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，∴c2－a2＝ac，∴2＋－1＝0.∵>0，∴＝＝sinA，故选A.[点评]　在△ABC中，由正弦定理a＝2RsinA、b＝2RsinB可知，a<b⇔A<B⇔sinA<sinB.12．(文)(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则(a5＋a7＋a9)的值是(　　)A．－5   B．－  C．5   D.[答案]　A[分析]　根据数列满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)．由对数的运算法则，得出an＋1与an的关系，判断数列的类型，再结合a2＋a4＋a6＝9得出a5＋a7＋a9的值．[解析]　由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)得，an＋1＝3an，∵an>0，∴数列{an}是公比等于3的等比数列，∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×33＝35，∴(a5＋a7＋a9)＝－log335＝－5.(理)已知等比数列{an}的公比q>0，其前n项的和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是(　　)A．S4a5<S5a4   B．S4a5>S5a4C．S4a5＝S5a4   D．不确定[答案]　A[解析]　(1)当q＝1时，S4a5－S5a4＝4a－5a＝－a<0.(2)当q≠1且q>0时，S4a5－S5a4＝(q4－q8－q3＋q8)＝(q－1)＝－aq3<0.[点评]　作差，依据前n项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论，请再做下题：已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，试比较与的大小．[解析]　当q＝1时，＝3，＝5，所以<；当q>0且q≠1时，－＝－＝＝<0，所以有<.综上可知有<.13．(文)(2011·长春模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，且{bn}的前n项和为Tn，若对一切正整数n都有Sn>Tn，则数列{an}的公比q的取值范围是(　　)A．0<q<1   B．q>1C．q>   D．1<q<[答案]　B[解析]　由于{an}是等比数列，公比为q，所以bn＝＝an，于是b1＋b2＋…＋bn＝(a1＋a2＋…＋an)，即Tn＝·Sn.又Sn>Tn，且Tn>0，所以q2＝>1.因为an>0对任意n∈N*都成立，所以q>0，因此公比q的取值范围是q>1.(理)(2011·榆林模拟)在等比数列{an}中，an>0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当＋＋…＋最大时，n的值等于(　　)A．8   B．9  C．8或9   D．17[答案]　C[解析]　∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a＋2a3a5＋a＝25，又an>0，∴a3＋a5＝5，又q∈(0,1)，∴a3>a5，∵a3a5＝4，∴a3＝4，a5＝1，∴q＝，a1＝16，an＝16×()n－1＝25－n，bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝－1，∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴Sn＝，∴＝，∴当n≤8时，>0；当n＝9时，＝0；当n>9时，<0，∴当n＝8或9时，＋＋…＋最大．14．(2011·新课标全国文，17)已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．[解析]　(1)因为an＝×n－1＝，Sn＝＝，所以Sn＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.所以{bn}的通项公式为bn＝－.15．(文)(2011·山东淄博一模)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析]　(1)设数列{an}的公比为q(q>1)，由已知，得即解得故数列{an}的通项为an＝2n－1(2)由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝lna3n＋1＝ln23n＝3nln2，又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是以b1＝3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列．∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝即Tn＝ln2.(理)(2011·安庆模拟)已知数列{an}中，a1＝，点(n,2an＋1－an)在直线y＝x上，其中n＝1,2,3….(1)令bn＝an＋1－an－1，求证数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项．[解析]　(1)由已知得2an＋1＝an＋n，又a1＝，∴a2＝，b1＝a2－a1－1＝－－1＝－，又∵bn＝an＋1－an－1，∴bn＋1＝an＋2－an＋1－1，∴＝＝＝＝.∴{bn}是以－为首项，以为公比的等比数列．(2)由(1)知，bn＝－×()n－1＝－3×()n＋1∴an＋1－an＝1－3×()n＋1，∴a2－a1＝1－3×()2a3－a2＝1－3×()3……an－an－1＝1－3×()n各式相加得an＝n－1－3×[()2＋()3＋…＋()n]＋＝n－－3×＝＋n－2.1．(2010·常德市检测)已知数列{an}的前n项的和Sn满足Sn＝2n－1(n∈N*)，则数列{a}的前n项的和为(　　)A．4n－1   B.(4n－1)C.(4n－1)   D．(2n－1)2[答案]　B[解析]　n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，又a1＝S1＝21－1＝1也满足，∴an＝2n－1(n∈N*)．设bn＝a，则bn＝(2n－1)2＝4n－1，∴数列{bn}是首项b1＝1，公比为4的等比数列，故{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1)．2．(2010·宁波市模拟)等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为(　　)A．4   B．6  C．8   D． 10[答案]　C[解析]　由题意知，85q＝170，∴q＝2，∴85＋170＝，∴n＝8.3．(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于(　　)A．2   B．4  C．8   D．16[答案]　D[解析]　由题意可知，a＝2(a3＋a11)＝4a7.∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝b＝a＝16.4．已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则＋＝________.[答案]　2[解析]　由条件知x＝，y＝，c＝bq，a＝，∴＋＝＋＝＋＝＋＝2.5．已知{an}是首项为a1、公比q(q≠1)为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，设bn＝q＋Sn.(1)求q的值；(2)数列{bn}能否是等比数列？若是，求出a1的值；若不是，请说明理由．[解析]　(1)由题意知5S2＝4S4，S2＝，S4＝，∴5(1－q2)＝4(1－q4)，又q>0，∴q＝.(2)∵Sn＝＝2a1－a1n－1，于是bn＝q＋Sn＝＋2a1－a1n－1，若{bn}是等比数列，则＋2a1＝0，∴a1＝－.此时，bn＝n＋1.∵＝＝，∴数列{bn}是等比数列．所以存在实数a1＝－，使数列{bn}为等比数列．6．(2010·福建龙岩一模)已知数列{an}和{bn}，数列{an}的前n项和记为Sn.若点(n，Sn)在函数y＝－x2＋4x的图象上，点(n，bn)在函数y＝2x的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.[解析]　(1)由已知得Sn＝－n2＋4n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5，又当n＝1时，a1＝S1＝3，符合上式．∴an＝－2n＋5.(2)由已知得bn＝2n，anbn＝(－2n＋5)2n.Tn＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n＋5)×2n，2Tn＝3×22＋1×23＋…＋(－2n＋7)×2n＋(－2n＋5)×2n＋1，两式相减可得Tn＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋(－2n＋5)×2n＋1＝＋(－2n＋5)×2n＋1－6＝(7－2n)×2n＋1－14.