数学必修42.3.1向量数量积的物理背景与定义教案

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

引入

以物理学中的做功为背景引入

问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？

力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角

教师提出问题，学生思考

由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系

定义形成

问题：给一个精确定义

问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算

一、两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角

说明：

（1）当θ＝０时，a与b同向；

（2）当θ＝π时，a与b反向；

（3）当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180

二、平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0

教师引导学生，

注意：

1.两向量必须同起点；

2.的取值范围；

3.数量积的定义公式形式；

4.注意特殊向量零向量

让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性

定义深化

问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）

结论：两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量

1、ea = ae =|a|cos

2、ab ab = 0

3、 aa = |a|2或

4、cos =

5、|ab| ≤ |a||b|

问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率

问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？

如何验证。（不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c) ）

结论：向量数量积满足的运算率：

；

；

学生自己回顾、探索、根据已有知识得到问题的答案

养成学生自己动脑、动手探索总结的习惯

应用举例

课堂小结

1. 平面向量的数量积的定义、性质及相关注意事项；
2. 平面向量的数量积的运算性质（注意结合率和消去率不成立）

3. 对于平面向量的几种运算进行比较总结

让学生写出基本框架，然后添加具体内容

进一步体会数学的严谨性，培养学生思考的能力和习惯

作业

1、  看书反思本节内容；

2、  P111 练习A---1、2、3

        练习B---2

养成学生看书的习惯