高中数学人教版新课标B必修3第一章 算法初步1.3 中国古代数学中的算法案例教学设计

教学

环节

教学内容

师生互动

设计意图

创设　　　情境

引入新课

引导学生回顾

人们在长期的生活，生产和劳动过程中，创造了整数，分数，小数，正负数及其计算，以及无限逼近任一实数的方法，在代数学，几何学方面，我国在宋，元之前也都处于世界的前列。我们在小学，中学学到的算术，代数，从记数到多元一次联立方程的求根方法，都是我国古代数学家最先创造的。更为重要的是我国古代数学的发展有着自己鲜明的特色，也就是“寓理于算”，即把解决的问题“算法化”。本章的内容是算法，特别是在中国古代也有着很多算法案例，我们来看一下并且进一步体会“算法”的概念。

教师引导，学生回顾。

教师启发学生回忆小学初中时所学算术代数知识，共同创设情景，引入新课。

通过对以往所学数学知识的回顾，使学生理清知识脉络，并且向学生指明，我国古代数学的发展“寓理于算”，不同于西方数学，在今天看仍然有很大的优越性，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。

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探究

新知

１．   求两个正整数最大公约数的算法

学生通常会用辗转相除法求两个正整数的最大公约数：

例１：求７８和３６的最大公约数

（１）        利用辗转相除法

步骤：

计算出７８３６的余数６，再将前面的除数３６作为新的被除数，３６６＝６，余数为０，则此时的除数即为７８和３６的最大公约数。

理论依据： ，得与有相同的公约数

（２）        更相减损之术

指导阅读课本P----P，总结步骤

步骤：

以两数中较大的数减去较小的数，即７８－３６＝４２；以差数４２和较小的数3６构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即４２－３６＝６,再以差数６和较小的数３６构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即３６－６＝３０,继续这一过程,直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数

即，

理论依据：

由，得与有相同的公约数

算法：

              输入两个正数；

 如果，则执行，否则转到；

 将的值赋予；

 若，则把赋予，把赋予，否则把赋予，重新执行；

 输出最大公约数

程序:

a=input(“a=”)

b=input(“b=”)

while a<>b

  if a>=b

a=a-b;

else

  b=b-a

end

end

print(%io(2),a,b)

学生阅读课本内容，分析研究，独立的解决问题。

教师巡视，加强对学生的个别指导。

由学生回答求最大公约数的两种方法，简要说明其步骤，并能说出其理论依据。

由学生写出更相减损法和辗转相除法的算法，并编出简单程序。

教师将两种算法同时显示在屏幕上，以方便学生对比。

教师将程序显示于屏幕上，使学生加以了解。

数学教学要有学生根据自己的经验，用自己的思维方式把要学的知识重新创造出来。这种再创造积累和发展到一定程度，就有可能发生质的飞跃。在教学中应创造自主探索与合作交流的学习环境，让学生有充分的时间和空间去观察，分析，动手实践，从而主动发现和创造所学的数学知识。

求两个正整数的最大公约数是本节课的一个重点，用学生非常熟悉的问题为载体来讲解算法的有关知识，，强调了提供典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。为了能在计算机上实现，还适当展示了将自然语言或程序框图翻译成计算机语

言的内容。总的来说，不追求形式上的严谨，通过案例引导学生理解相应内容所反映的数学思想与数学方法。

应用

举例

例1 ：用等值算法（更相减损术）求下列两数的最大公约数。

（1）225，135     （2）98，280

例2：用辗转相除法验证上例中两数的最大公约数是否正确。

学生练习，教师巡视检查。

学生回答。

巩固所学知识，进一步加深对知识的理解，用辗转相除法步骤较少，而更相减损术虽然有些步骤较长，但运算简单。

体会我国古代数学中“寓理于算”的思想。

深化

算法

应用

举例

2．割圆术

魏晋时期数学家刘徽，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”

即从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些内接正多边形的面积，从而得到一系列逐次递增的数值。

阅读课本P----P，

步骤：

第一，从半径为１的圆内接正六边形开始，计算它的面积；

第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形，正二十四边形，正四十八边形…的面积，到一定的边数（设为２m）为止，得到一列递增的数，

第三，在第二步中各正边形每边上作一高为余径的矩形，把其面积与相应的面积相加，得，这样又得到一列递增数：，，，…，。

第四，圆面积满足不等式　

估计的近似值，即圆周率的近似值。

算法：

设圆的半径为１，弦心距为，正边形的边长为，面积为，由勾股定理得

，

则

图可知，正边形的面积等于正边形的面积加上个等腰三角形的面积和，即

  （）

利用这个递推公式，可以得到正六边形的面积为，

由于圆的半径为１，所以随着的增大，的值不断趋近于圆周率。

程序：

n=6;

x=1;

s=6*sqrt(3)/4;

for I=1:1:16

h=sqrt(1-(x/2)ˆ2);

s=s+n*x*(1-h)/2;

n=2*n;

x=sqrt((x/2) ˆ2+(1-h)ˆ2);

end

print(%io(2),n,s)

学生阅读课本，教师巡视注意个别指导，帮助学生识图，分析。

教师概括割圆术的步骤，学生观察图形，引导学生提出问题并解答。

步骤较复杂，教师注意结合图形帮助学生分析，理解。

通过教师分析的割圆术的步骤，又学生讨论制定割圆术的算法，教师注意指导，适当提示，引导学生出现算法中的递推关系。

教师将算法显现在屏幕上，又学生对应写出简单的程序。

割圆术是从圆内接六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些内接正多边形的面积，从而得到一系列逐次递增的数值。在但是要付出艰辛的劳动，现在有计算机，我们只需利用刘徽的思想，寻找割圆术中的算法，即运算规律，计算机会迅速得到所求答案。

分析刘徽割圆术中的算法是难点所在，学生先阅读课本，有初步印象之后教师再与学生一起总结割圆术的步骤，在此基础上，又学生将所分析的步骤写为算法，引导学生体会算法的核心是一般意义上的解决问题策略的具体化。面临一个问题时，在分析、思考后获得了解决它的基本思路（解题策略），将这种思路具体化、条理化，用适当的方式表达出来（画出程序框图，转化为程序语句），这个过程就是算法设计过程，这是一个思维的条理化、逻辑化的过程。

归纳小结

1．求最大公约数的辗转相除法和更相减损法；

2．割圆术的算法

学生小结并相互补充，师生共同整理完善。

学生学后反思总结，可以提高学生自己获得知识的能力以及归纳概括能力。

课后作业

习题1—3  1，2

选作 习题1—3

巩固所学知识，是学有余力的同学的创造性得到进一步的发挥。