高中数学3.1.4概率的加法公式教学设计

概率论的发展

概率论作为一门学科，产生于17世纪中期，是通过解决一个赌博问题而产生的，当时帕斯卡、费马和惠更斯对其做了大量研究，他们三位是概率论的真正创立者.

在三位创立者之后,为概率论成为一个独立的数学分支做出重大贡献的是瑞士数学家雅各布·贝努利. 他的《猜度术》,是概率论的第一本专著.该书表述并证明了著名的"大数定律".所谓"大数定律"，简单地说就是，当实验次数很多时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小.这一定律第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。后来，泊松将伯努利大数定律做了推广，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。

19世纪初期法国的科学家拉普拉斯使概率论的发展取得了巨大进步.他在1812年出版的《概率的分析理论》一书中系统的总结了前人关于概率的研究成果,首先明确地对概率作了古典的定义，在概率论中引入分析方法,把概率论提高到一个新的阶段,将古典概率论向近代概率论推进.1814年又将该书更名为《概率论的哲学导论》,书中给概率下的定义是:“有利情况的个数与所有可能情况个数之比.”他还证明了“棣莫弗——拉普拉斯定理”,把棣莫弗的结论推广到一般场合.另外，他又和数个数学家建立了关于「正态分布」及「最小二乘法」的理论。

概率论在19世纪后期再度迅速发展起来,这一时期的主要成就是中心极限定理,主要人物是俄国的切比雪夫,他于1866年建立的独立随机变量的大数定律,使贝努利和泊松的大数定律成为其特例,他还把棣莫弗与拉普拉斯的极限定理推广成一般的中心极限定理.1906年,切比雪夫的学生俄国数学家马尔科夫提出了有名的“马尔科夫链”.

为概率论确定严密的理论基础的是前苏联的大数学家柯尔莫哥洛夫。从20世纪20年代起,柯尔莫哥洛夫开始从测度论的途径来改造概率论.1933年他出版了《概率论基础》,他的这本书中建立了柯尔莫哥洛夫公里化概率论,即概率论的公理体系,他的公理化方法成为现代概率论的基础,使概率论成为严谨的数学分支.

概率论传入我国最早是再1896年我国晚清数学家华蘅芳译出的名为《决疑书》.后来被译为“可遇率”“或然率”“可能率”等.1964年《数学名词补编》中开始确定用“概率”.

概率的加法公式及应用

　　概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些复杂事件的概率．在学习时，要注意把握以下几点：

　　一、注意区分互斥事件与对立事件

　　互斥事件与对立事件既有联系又有区别．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．明确了事件间的关系，解复杂事件的概率问题就会有的放矢．

　　例　从中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是（　　）．

　　（Ａ）①　　（Ｂ）②④　　（Ｃ）③　　（Ｄ）①③

　　解析：首先看是否为互斥事件，然后再看两事件是否必有一个发生，若必有一个发生，则为对立事件，否则，不是对立事件．

　　因为从1，2，…，9中任取两数，有以下三种情况：两个奇数；两个偶数；一个奇数和一个偶数，所以“至少有一个奇数”的对立事件显然是“两个都是偶数”，故选（Ｃ）．

　　二、准确应用互斥事件的概率加法公式

　　若事件与互斥，则（推广情况），利用这一公式解题体现了化整为零、化难为易的思想．但要注意用此公式时，首先要判断事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．

　　例2　甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为，乙的命中率为，那么能否得出结论，目标被命中的概率为，为什么？

　　解析：不能．因为甲命中目标与乙命中目标两事件不是互斥事件，故不能使用概率加法公式计算，且概率不可能大于１，结论显然不对．

　　例3　某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下：

　　计算在同一时期内，河流此处的年最高水位在下列范围内的概率：（1）；（2）．

　　解析：记此处河流的年最高水位在，，，，范围内分别为事件，则这个事件是彼此互斥的，据互斥事件概率加法公式：

　　（1）此处河流的年最高水位在的概率是．

　　（2）此处河流的年最高水位在的概率是．

　　三、灵活运用对立事件的概率加法公式

　　如果与互为对立事件，则，即．利用此公式，可以简化概率的计算，特别在求某些概率问题时，可逆向思考，考查其对立事件，从而轻松获解．

　　例4　一所大学有科学、艺术、计算机个学生协会，它们分别有，，个成员，一些成员属于不止一个协会，具体情况如图所示．随机选取个成员，它属于不止一个协会的概率是多少？

　　分析：求属于不止一个协会的概率较为复杂，需要分情况讨论，如果我们转化为求此事件的对立事件，就会比较简便．

　　解：用表示事件“选取的成员只属于一个协会”，则就表示“选取的成员属于不止一个协会”．

　　因此由图即知，，

　　从而得．