数学必修21.2.3空间中的垂直关系学案

空间中的垂直关系

新课标要求

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

重点难点聚焦

直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定不光是确立垂直关系的重要依据，也以后计算角和距离重要环节。因此，垂直关系及其相互转化是整个立体几何部分的重点和关键。

高考分析及预策

　   近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考查重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点放在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，是知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。

题组设计

再现型题组

⒈（2008上海，13） 给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（   ）条件

A．充要     B．充分非必要     C．必要非充分    D．既非充分又非必要

⒉已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l是异面直线AB1 和A1D的公垂线，则直线l与直线BD1的关系为（  ）

A．l⊥BD1   B．l∥BD1     C．l与BD1 相交       D．不确定

3．如图，在四面体ABCD中，，，，

（1）四面体ABCD的各面中有几个直角三角形？为什么？

（2）四面体ABCD的各面中有几组平面互相垂直？为什么？

（3）你能找出A在面BCD上的射影吗？为什么？

巩固型题组

⒋如图１所示，为正方形，⊥平面，过且垂直于的平面分别交于．求证：，．

5．如图２，在三棱锥中，，，作，Ｅ为垂足，作于．求证：．

6．如图３，是圆的直径，是圆周上一点，平面．若 ，为垂足，是上任意一点，求证：平面⊥平面．

提高型题组

7.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90，AA1 ＝，D 是A1B1 中点．（1）求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论。

反馈型题组

8．（2007江西理,7）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误的命题是（  ）

A．点H是△A1BD的垂心    B．AH垂直平面CB1D1

C．AH的延长线经过点C1      D．直线AH和BB1所成角为45°．

9.（1999全国，18）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断：①m⊥n  ②α⊥β  ③n⊥β  ④m⊥α

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：                         。

10. 如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA。

11. 求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线l垂直于另一个平面

空间中的垂直关系（解答部分）

再现型题组                                  

⒈ 【提示或答案】C．

【基础知识聚焦】线面垂直定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：l⊥α。

⒉【提示或答案】B．

【基础知识聚焦】直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

⒊【提示或答案】

（1）   四个；

（2）   三组；

（3）BD的中点E

【基础知识聚焦】两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

巩固型题组

⒋【证明】∵平面，　∴．

　　∵，∴平面．　又∵平面，∴．

　　∵平面，∴．

　　∴平面．∴．同理可证．

【点评】本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

判定空间两直线垂直的方法有：

⑴由定义：若两条直线所成的角是直角，则它们互相垂直．

⑵平面几何中证明线线垂直的方法；

⑶三垂线定理及其逆定理．

⑷线面垂直的性质：如果一条直线和一个平面互相垂直，则这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直．

(5)向量方法。

5. 【证明】取的中点Ｆ，连结，．

      ∵，∴．  

  ∵，∴．

      又，∴平面．

      ∵平面，∴．

      又，，　

      ∴平面，．

      ∵，，，∴ 平面．

【点评】本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

判定直线与平面垂直的方法有：

⑴由定义：如果一条直线和一个平面相交，且和这个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线和这个平面互相垂直．

⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

⑶面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

⑷向量方法．

6.【证明】∵是圆的直径，∴．

∵平面，平面，∴．∴平面．

∵平面，　∴平面⊥平面．

∵，平面∩平面＝，∴⊥平面．

∵平面，∴平面⊥平面．

【点评】证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

判定平面与平面垂直的方法有：

⑴由定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面．

⑵面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

⑶向量方法．

提高型题组

⒌【解法】（1）证明：如图，∵  ABC—A1B1C1 是直三棱柱，

∴  A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。

又 D 是A1B1 的中点，∴  C1D ⊥A1B1 。

∵  AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ，

∴  AA1 ⊥C1D ，∴  C1D ⊥平面AA1B1B。

（2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 ⊥平面C1DF ，点F 即为所求。

事实上，∵  C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ，

∴  C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，

∴  AB1 ⊥平面C1DF 。

【点评】本题（1）的证明中，证得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。

课堂小结

1．证明空间线面垂直需注意以下几点：

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

2. 要有升降维”思想，熟练掌握各类垂直的相互转化：

线线垂直          线面垂直            面面垂直

每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直最终达到目的。

例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。

运用降维的方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进行研究和解题，可以化难为易，化新为旧，化未知为已知，从而使问题得到解决。运用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以立易解难，温旧知新，从已知探索未知，是培养创新精神和能力，是“学会学习”的重要方法。平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程。

反馈型题组

8.D

9.m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β．

【点评】本题主要考查线线、线面、面面之间关系的判定与性质.但题型较新颖，主要表现在：题目中以立体几何知识为背景，给出了若干材料，要求学生能将其组装成具有一定逻辑关系的整体。考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向．

10. （1）如图，取EC 中点F ，连结DF。

∵  EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。

∴  DB ⊥AB ，EC ⊥BC。

∵  BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，则四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。

又BA ＝BC ＝DF ，∴  Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。

（2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ，

∵  M 是EA 的中点，∴  MN EC。

由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。

∵  DE ＝DA ，M 是EA 的中点，∴  DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，

∴  DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，则平面ECA ⊥平面BDM。

（3）∵  DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，∴  平面DEA ⊥平面ECA。

11. 已知：平面、、，，且.求证：.

【方法一】设，,在内作，.

由平面与平面垂直的性质可得：,因为 ,所以 .

同理 ,故  .

【方法二】设，,在内作直线，在内作直线

由平面与平面垂直的性质得：，,故 .

又因为 ,,得，因为 ，,故 ,所以  .