高中数学人教版新课标B必修22.1.2平面直角坐标系中的基本公式教案设计

巧用坐标法解几何题

　　不少平面几何问题若用纯几何方法证明需要添加辅助线，这样会使图形变得更加复杂，而无从下手．但倘若变换思维，采用坐标法求解，则会使解题变得思路简捷，形象直观．下面举例说明．

　　例1　等腰的底边是为腰边上的中线，延长到，使，求证：．

　　分析：本题在适当选取坐标系后，可以把平面图形的性质问题转化为有关点的数量关系的问题，再用代数方法给予证明．

　　证明：以为原点，为轴的正方向建立直角坐标系，如图1．

　　设点的坐标为，点坐标为，

　　∵为的中点，∴点的坐标为．

　　∵点与点关于原点对称，

　　∴点的坐标为．

　　由两点的距离公式，得

　　，，

　　∴．

　　评注：本题也可以的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立直角坐标系，也很方便．

　　例2　用坐标法证明：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则从对角线的交点到一边中点的线段等于从圆心到这边的对边的距离．

　　证明：如图2，以互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴，建立直角坐标系．设点，，，，为四边形的外接圆的圆心，则的中点，过点作且交于点，则是的中点，从而．

　　∵，，∴圆心．

　　∵，∴，

．

　　评注：在运用坐标法解题时，要注意建立恰当的坐标系，以便于把计算压缩到尽可能简便的程度．解题中选取互相垂直的直线作坐标轴建立直角坐标系是常采用的方法．

　　例3　用坐标法证明：梯形两条对角线的中点连线平行于底边且等于两底之差的一半．

　　证明：建立如图3所示的坐标系，设梯形各顶点坐标分别为，，，，

则的中点，中点．

　　∵，∴．∵，，

∴．又，

∴．

　　评注：坐标系的建立，使平面上的点和有序实数对一一对应，这样就可以把平面内关于点的几何问题转化为关于这些点的坐标即数的问题，把几何命题中的几何元素之间的关系转化为与其对应的数量关系进行研究，这种对应的思想与数形结合的思想是解析几何最显著的特征．