高端精品高中数学一轮专题-立体几何全部教案和作业

这是一份高端精品高中数学一轮专题-立体几何全部教案和作业，共61页。教案主要包含了知识清单，考点分类剖析，总结提升，变式探究，规律方法，典例10，典例11，特别提醒等内容，欢迎下载使用。
一、空间几何体
【知识清单】
知识点1．空间几何体的结构特征
一、多面体的结构特征
多面体
结构特征
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等
棱锥
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分
二、旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一条直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
三、简单组合体
简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．
知识点2．空间几何体的直观图
简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
(2)画几何体的高
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．
【考点分类剖析】
考点一 ：空间几何体的结构特征
【典例1】若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A． B． C． D．

【典例2】《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）

A.4 B.8 C.12 D.16
【总结提升】
解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
【变式探究】
1.以下命题正确的是（ ）
A．直角三角形绕其一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台
2.【多选题】过正方体棱上三点D，E，F（均为棱中点）确定的截面过点P(点P为BB1中点)有（ ）
A． B． C． D．
考点二 ：空间几何体的直观图
【典例3】已知的面积为，用斜二测法画出其水平放置的直观图如图所示，若，则的长为________.

【典例4】如图，、分别为正方形的面与面的中心，则四边形在正方体的面上的正投影可能是（要求：把可能的图的序号都填上）________

【变式探究】
1.如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（ ）

A．2 B．5 C．4 D．
作业
练基础

1. 已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的高为（ ）
A．1 B． C． D．2


2.若圆台的母线与高的夹角为，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为（ ）
A． B．2 C． D．


3．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，每个圆锥的底面直径和高均为，现有体积为的细沙全部漏入下圆锥后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（ ）

A． B． C． D．


4.如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）

A．8 B．6 C． D．

5．设是半径为的球的直径，则两点的球面距离是________．












练真题TIDHNEG

1.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．


2．定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨


3．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )

A．BM=EN，且直线BM，EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM，EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线


4．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．




二、空间几何体的表面积和体积
【知识清单】
知识点1．几何体的表面积
圆柱的侧面积
圆柱的表面积
圆锥的侧面积
圆锥的表面积
圆台的侧面积
圆台的表面积
球体的表面积
柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.
把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.
知识点2．几何体的体积
圆柱的体积
圆锥的体积
圆台的体积
球体的体积
正方体的体积
正方体的体积
【考点分类剖析】
考点一 ：几何体的面积
【典例1】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%


【典例2】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.



【变式探究】
1．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．


考点二 ：几何体的体积
【典例3】两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．



【典例4】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）
A． B． C． D．



【变式探究】
1．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．




2．已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是__．




考点三 ： 几何体的展开、折叠、切、截问题
【典例5】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.








【规律方法】
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
【典例6】学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，高为.打印所用部料密度为．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________.（取）


【典例7】已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为，且它的六个顶点均在球的球面上，则球的体积为__________.




【总结提升】
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．

【典例8】《九章算术.商功》中有这样段话：“斜解立方，得两壍堵(qian du).斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑(bie nao).”这里所谓的“鳖臑”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥是一个“鳖臑”，平面， ，且 ，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．




2．【多选题】已知正四面体的棱长为，则（ ）．
A． B．四面体的表面积为
C．四面体的体积为 D．四面体的外接球半径为




3．如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．




【典例9】已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到三棱锥．若O为的中点，点，分别为，上的动点（不包括端点），且，则当点到平面的距离为________时，三棱锥的体积取得最大值，且最大值是________．





【变式探究】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.



【典例10】单位正方体内部或边界上不共面的四个点构成的四面体体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．


【变式探究】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．



【典例11】已知球O是正三棱锥的外接球，，，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是_______.



【变式探究】
1.已知正方体的棱长为，直线平面，平面截此正方体所得截面中，正确的说法是（ ）
A．截面形状可能为四边形 B．截面形状可能为五边形
C．截面面积最大值为 D．截面面积最大值为

2．已知在球的内接长方体中，，，则球的表面积为________，若为线段的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值为______．

作业
练基础

1．已知圆柱及其展开图如图所示，则其体积为（ ）

A． B． C． D．


2.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．


3．已知一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个面的距离是，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．


4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．


5.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.











练真题TIDHNEG

1．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．


2.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．


3.已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．


4.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）

A． B． C． D．


5.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．


6.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．










三、直线、平面平行的判定及性质
【知识清单】
知识点1．直线与平面平行的判定与性质
1．直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
(2)判定定理：aα，bα，且a∥b⇒a∥α；
(3)其他判定方法：α∥β；aα⇒a∥β.
2．直线和平面平行的性质定理：a∥α，aβ，α∩β＝l⇒a∥l.

判定
性质
定义
定理
图形




条件
a∩α＝∅
a⊂α，b⊄α，a∥b
a∥α
a∥α，a⊂β，α∩β＝b
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝∅
a∥b
知识点2．面面平行的判定与性质
1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．
2．两个平面平行的判定
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2)判定定理：aα，bα，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；
(3)推论：a∩b＝M，a，bα，a′∩b′＝M′，a′，b′β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.
3．两个平面平行的性质定理
(1)α∥β，aα⇒a∥β；
(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.

判定
性质
定义
定理
图形




条件
α∩β＝∅
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，
a∥α，b∥α
α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b
α∥β，a⊂β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
知识点3．与垂直相关的平行的判定
(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；
(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.

【考点分类剖析】
考点一 ：直线与平面平行的判定与性质
【典例1】 “直线与平面无公共点”是“直线在平面外”的________条件（.从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）



【典例2】如图，已知四棱锥，底面四边形为菱形，，．分别是线段．的中点．

（1）求证：∥平面；
（2）求异面直线与所成角的大小．



【规律方法】
判断或证明线面平行的常用方法：
利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)
利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
【变式探究】
1．已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点在四边形内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）
A．截面的面积是
B．点和点到平面的距离不相等
C．若平面，则点的轨迹的长度是
D．若平面，则点的轨迹的长度是

2．已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面.

（1） 试在平面内作一条直线，使直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明.
（2）求点到平面的距离.
【特别提醒】
解决有关线面平行的基本问题的注意事项：(1)易忽视判定定理与性质定理的条件，如易忽视线面平行的判定定理中直线在平面外这一条件；(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；(3)可举反例否定结论或用反证法判断结论是否正确.

考点二 平面与平面平行的判定与性质
【典例3】如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，的中点.

（1）求证：平面ABC；
（2）求证：平面平面BCHG.



【典例4】如图，在三棱柱中，底面是正三角形，平面，已知，侧棱长为，是的中点，、、分别是，，的中点.

（1）求与所成角的大小；
（2）求证：平面平面

【规律方法】
判定面面平行的常用方法：
(1)面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点；
(2)面面平行的判定定理；
(3)垂直于同一条直线的两平面平行；
(4)平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行.
【变式探究】
1.已知直线l，m，平面，，下列命题正确的是（ ）
A．，
B．，，，
C．，，
D．，，，，
2.如图，在三棱柱中，E，F，G分别为，，AB的中点．
求证：平面平面BEF；
若平面，求证：H为BC的中点．


【总结提升】
证明两个平面平行的方法有：
①用定义法来完成证明；
②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明；
③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；
④借助“传递性”来完成．
面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用．

考点三 线面、面面平行的综合应用
【典例5】如图，在正方体中，、、、分别是、、、的中点，则下列说法：①平面；②；③；④平面，
其中正确的命题序号是________.



【典例6】如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点.求证：

（1）直线平面；
（2）平面平面.


【规律方法】
1.证明线面平行的常用方法与思路
(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．
(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．
2.判定面面平行的四种方法
(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．
(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行．
(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．
3．面面平行的应用
(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．
4.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为

在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.
【变式探究】
1.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则


2.【多选题】设，表示不同直线，，表示不同平面，以下推理不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则或

【易错提醒】
1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误.
2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.
3.解题中注意符号语言的规范应用.









作业
练基础

1．对于两个不同的平面，和三条不同的直线，，.有以下几个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
⑤若，，则.
则其中所有错误的命题是（ ）
A．③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤

2．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则

3．已知平面平面，直线，直线，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．与不相交

4．如图，四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则　　

A． B． C． D．以上均有可能

5．【多选题】下列命题正确的是（ ）
A．若两条平行直线中的一条直线与一个平面相交，则另一直线也与这个平面相交.
B．若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一直线也与这个平面平行.
C．过空间任意一点，可作一个平面与异面直线都平行.
D．若在空间内存在两条异面直线同时平行于平面，则.

6．【多选题】已知，，为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题是（ ）
A．， B．，
C．， D．，nÜ，

7．【多选题】下列命题正确的是（ ）
A．平行于同一直线的两条直线互相平行
B．垂直于同一平面的两个平面互相平行
C．若是两个平面，∥∥，则∥
D．若三棱锥中，，则点在平面内的射影是的垂心


8．已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题：
①；②若，，则；
③，，则；④直线，直线，那么；
⑤若，，，则；⑥若，，则．
其中正确的说法为______（填序号）
9．如图，在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为5，G、H分别为PB、PC的中点.

（1）求证：平面ABC；
（2）求正三棱锥的表面积.
10.如图在正方体 中，分别是的中点，求证

（1）∥平面；
（2）平面∥平面.

练真题TIDHNEG

1．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）

A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面

2.已知直线和平面，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（　　）
A. B.
C. D.

5．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．




6.四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 ,
（1）证明：直线平面;
（2）若△面积为，求四棱锥的体积.












四、直线、平面垂直的判定及性质
【知识清单】
知识点1．直线与平面垂直的判定与性质
定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．
定理：

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

⇒l⊥α
性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

⇒a∥b
知识点2．平面与平面垂直的判定与性质
定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
定理：

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

⇒β⊥α
性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

⇒AB⊥α
知识点3．线面、面面垂直的综合应用
1．直线与平面垂直
(1)判定直线和平面垂直的方法
①定义法．
②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．
②垂直于同一个平面的两条直线平行．
③垂直于同一直线的两平面平行．
2．斜线和平面所成的角
斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．
3．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法
①定义法
②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的性质
如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
【考点分类剖析】
考点一 ：直线与平面垂直的判定与性质
【典例1】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.

（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.


【典例2】在三棱锥中，，，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点.

（1）求证：PO⊥平面ABC；
（2）求直线PM与平面PBO所成的角的正弦值.










【规律方法】
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.


【变式探究】
1．如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，底面.

（1）求证：平面；
（2）若，直线与平面所成的角为，求点到平面的距离.














2.如图，在四棱锥中，底面为菱形，,，面面,为等边三角形，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)若是的中点，求三棱锥的体积．










考点二 ： 平面与平面垂直的判定与性质
【典例3】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.







【典例4】在四边形中，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的是（ ）

A.平面平面
B.平面平面
C.平面平面
D.平面平面


【变式探究】
1.如图所示，在四棱锥中，平面，是线段的中垂线，与交于点，，，，．

（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
【总结提升】
在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．
转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
考点三 ： 线面、面面垂直的综合应用
【典例5】设m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；②若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；
③若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β；④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④

【典例6】已知三棱锥，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且．
（Ⅰ）现给出两个条件：①；②为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面；
（Ⅱ）若平面，直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，且，求三棱锥的体积．





【规律方法】
1.证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．
2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
3.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直．
4.垂直关系的转化：





【变式探究】
1.四面体中，，其余棱长均为4，，分别为，上的点（不含端点），则（ ）
A．不存在，使得
B．存在，使得
C．存在，使得平面
D．存在，，使得平面平面

2.如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点E为的中点，点F为的中点．

（1）求证：；
（2）求证：平面平面．





考点四： 平行、垂直的综合应用
【典例7】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.







【典例8】在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，底面，点、分别是棱、的中点.
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得与平面所成最大角的正切值为，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由.









【总结提升】
1.与探索性问题有关的解题策略
(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．
2．证明折叠问题中的平行与垂直，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化．对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．
【变式探究】
1.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA1，E是A1C的中点．

（1）若P为AB的中点，证明：DE∥平面PBA1．
（2）若平面PDA1⊥平面PDA，且DE⊥平面CBA1，求四棱锥A1﹣PBCD的体积．







2.如图(1)所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1—BCD，如图(2)所示．

(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF.
(2)求证：BD⊥A1F.
(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由．











考点五： 距离问题
【典例9】如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，为等边三角形.

（1）证明：平面平面；
（2）若的面积为，求点到平面的距离.










【总结提升】
空间距离的求法：直接法、等体积法、空间向量法


【变式探究】如图，已知四棱锥的底面是梯形， 且

(1)若为的中点，证明:⊥平面
(2)求点到平面的距离.
















































作业
练基础

1．已知两个不重合的平面，若直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．【多选题】已知直线a，b与平面，，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，为异面直线，，，，，则

4．【多选题】如图，在正方体中，线段上有两个动点，，若线段长度为一定值，则下列结论中正确的是（ ）

A． B．平面
C．平面 D．三棱锥的体积为定值
5．设，是两个不同的平面，l是直线且，则“”是“”的______.条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).

6.三棱锥的高为，若三条侧棱、、两两垂直，则为的______心.

7．如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱中，，分别是，的中点．求证：
（1）平面//平面；
（2）平面平面．




8．如图，四棱锥的底面ABCD为菱形，，E，F分别为AB和PD的中点.

（1）求证：平面PBD；
（2）求证：平面PBC.







练真题TIDHNEG

1．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）

A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
2．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）

A．20° B．40°
C．50° D．90°
3．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．


4.如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．







5．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.









6．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

（1）证明：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．

五、几何法求角
【知识清单】
知识点1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．
(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
知识点2．空间两直线的位置关系
直线与直线的位置关系的分类
直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
知识点3．异面直线所成的角
异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．
②范围：.
异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
知识点4．直线与平面所成角
1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.

知识点5．二面角
1．求二面角的大小
(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小
(或)．

【考点分类剖析】
考点一 ：平面的基本性质
【典例1】已知点A∈直线l，又A∈平面，则（ ）
A． B． C． D．或

【典例2】如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：

（1）当时，；
（2）点在平面内．





【规律方法】
1.证明点共线问题的常用方法
公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上
同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.
2.证明线共点问题的方法
证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．
3.证明点、直线共面问题的常用方法
纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内
辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合

【变式探究】
1.若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件

2.如图，是平行六面体，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（　　）

A.不共面 B.三点共线
C.不共面 D.共面

【总结提升】
公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．
画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．
证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．
要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.
考点二： 空间线、面的位置关系
【典例3】若直线平面，则下列结论一定成立的个数是（ ）
①内的所有直线与m异面；
②内存在唯一一条直线与m相交；
③内存在直线与m平行．
A．0 B．1 C．2 D．3


【典例4】如图，设不全等的与不在同一个平面内，且、、，求证：、、三线共点．


【总结提升】
判断空间两直线位置关系的思路方法
(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．
(2)异面直线的判定方法
①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
【变式探究】
1.（广东高考真题）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
A.与，都相交 B.与，都不相交
C.至少与，中的一条相交 D.至多与，中的一条相交

2.若表示直线，表示平面，下列结论中正确的是_______.①；②；③；④.

【总结提升】
空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.
考点三： 异面直线所成的角
【典例5】如图，在直三棱柱中，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B．
C． D．

【规律方法】
1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
2．向量法(基底法、坐标法)求异面直线所成的角
根据题意，确定两异面直线各自的方向向量a，b，则两异面直线所成角θ满足cosθ＝.

【变式探究】在长方体中，，，，直线与平面所成的角是（ ）
A．45° B．90°
C．正切值为2 D．正切值为


考点四： 直线与平面所成角
【典例6】【多选题】如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．直线与是异面直线
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成角的正切值为
D．点到平面的距离为


【典例7】如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．




【总结提升】
1.利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.
2.利用向量法求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.
【变式探究】
1.已知球内接三棱锥中，平面ABC，为等边三角形，且边长为，又球的体积为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为________.



2.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有边长均为1.
（1）计算正三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积和体积；
（2）求直线AB1与平面ABC所成角的大小.






考点五： 二面角
【典例8】如图，在斜三棱柱中，侧面为菱形，与交于点，，，，.

（1）求直线与所成角的正弦值；
（2）求二面角的正切值.

【总结提升】
1.利用几何法：原则上先利用图形“找平面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.
2.（1）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
(2)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况．
【变式探究】正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.

（1）求新多面体的体积；
（2）求正八面体中二面角的余弦值；
（3）判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）


























作业
练基础

1.（广东高考真题）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
A.与，都相交 B.与，都不相交
C.至少与，中的一条相交 D.至多与，中的一条相交

2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面

3.已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为( )
A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③

4.若，，是互不相同的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则

5.已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

6.已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .

7．以下命题中：（1）若直线，和平面满足：，，那么；
（2）若直线和平面平行，那么与内的任何直线平行；
（3）平行于同一条直线的两个平面平行；
（4）若直线，和平面满足，，，则，正确的是______.

8．如图，在圆锥中，、为底面圆的两条直径，交于点，且，为的中点，.

（1）求证： 平面；
（2）求圆锥的表面积和体积.
9．如图，在长方体中，，点E在棱AB的中点.

（1）证明：；
（2）求直线与所成角的大小.







10．已知矩形所在的平面，且，、分别为、PC的中点.

求证：（1）平面；
（2）.




练真题TIDHNEG

1．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．

2.【多选题】如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①②③④

4．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

（1）证明：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．




5．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.

（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.




6.在四棱锥中，底面是正方形，若．

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
六、空间向量及其运算和空间位置关系
【知识清单】
知识点1．空间向量的线性运算
1.空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度．
(2)几种常用特殊向量
①单位向量：长度或模为1的向量．
②零向量：长度为0的向量．
③相等向量：方向相同且模相等的向量.
④相反向量：方向相反而模相等的向量．
⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量．
⑥共面向量：平行于同一个平面的向量．
2.空间向量的线性运算
(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广．
设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则，，.

（2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律
①加法交换律：a＋b＝b + a .
②加法结合律：(a＋b)＋c＝a +（b＋c）．
③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb.
④数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)．
知识点2．共线向量定理、共面向量定理的应用
(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使.把{a，b，c}叫做空间的一个基底．
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，
使.其中x＋y＋z＝1.
知识点3．空间向量的数量积及其应用
1．两个向量的数量积
(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；
(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；
(3)|a|2＝a2，|a|＝.
2．向量的坐标运算

a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
垂直
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夹角公式
cos〈a，b〉＝
知识点4．空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算
空间直角坐标系及有关概念
(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面．
(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向．
(3)空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．
2．空间两点间的距离公式
设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝.

【考点分类剖析】
考点一 ：空间向量的线性运算
【典例1】如图，在长方体中，( )

A． B． C． D．

【典例2】如图，在空间四边形中， ， ， ．点在上，且， 是的中点，则=( )

A. B.
C. D.

【规律方法】
用已知向量表示某一向量的方法
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．


【变式探究】
1．如图，在平行六面体中，为的交点．若 ，
，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A． B．
C． D．
2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设，E，F分别是AD1，BD的中点．
（1）用向量表示，；
（2）若，求实数x，y，z的值．




【总结提升】
1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量.
2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决.

考点二 ： 共线向量定理、共面向量定理的应用
【典例3】如图所示，已知斜三棱柱，点，分别在和上，且满足，，判断向量是否与向量，共面．







【典例4】如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.

（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）求证：平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有.




【规律方法】
1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示．
2.中点向量公式，在解题时可以直接使用．
3．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线.
(1)；
(2)对空间任一点O，；
(3)对空间任一点O，．
4．证明空间四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面
(1)；
(2)对空间任一点O，；
(3)对空间任一点O，；
(4)∥(或∥或∥)．

【变式探究】
1．若，，不共线，对于空间任意一点都有，则，，，四点（ ）
A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线

2．已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断点是否在平面内.




考点三 ： 空间向量的数量积及其应用
【典例5】在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（ ）
A． B． C． D．

【典例6】【多选题】如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，.则下列正确的是（ ）

A． B．
C．的长为 D．

【总结提升】
1.空间向量数量积计算的两种方法
(1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
2．空间向量数量积的三个应用
求夹角
设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角
求长度(距离)
运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂直问题
利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
【变式探究】
1．已知向量， ，且与互相垂直，则的值为（ ）
A. 2 B. 0 C. -1 D. 1

2．【多选题】已知四棱柱为正方体.则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．向量与向量的夹角是 D．
【总结提升】
1. 当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；
2. 当异面直线所成的角为时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是，，所以
3. 立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝转化为向量求解．
考点四 ： 空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算
【典例7】已知，1，，，3，，，7，，点，，在平面内，则的值为（ ）
A． B．1 C．10 D．11

【典例8】正方体的棱长为1，､分别在线段与上，的最小值为______.


【规律方法】
空间向量的坐标运算
（1）设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标．
（2）设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么
①a±b＝．
②a·b＝，
③cos〈a，b〉＝，
④|a|＝＝ ，
⑤λa＝，
⑥a∥b⇔(λ∈R)，
⑦a⊥b⇔.
（3）设点M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)，
则

【变式探究】
1．点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD上一点，则PA⋅PC1的取值范围是（ ）
A． [-1,-14] B． [-12,-14] C． [-1,0] D． [-12,0]

2．已知在，，，若平面，则的最小值为___________.
【总结提升】
1.求向量的数量积的方法：
①设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ；
②若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算．
2.求向量模的方法：
①|a|＝；
②若a＝(x，y，z)，则|a|＝.
作业
练基础

1．已知为空间中任意一点，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．

2.【多选题】下列命题中不正确的是（ ）.
A．若､､､是空间任意四点，则有
B．若，则､的长度相等而方向相同或相反
C．是､共线的充分条件
D．对空间任意一点与不共线的三点､､，若()，则､､､四点共面

3.已知向量，，若，则实数m的值是__________.若，则实数m的值是__________.

4．下列关于空间向量的命题中，正确的有______________．
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
②若非零向量，，满足，，则有；
③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；
④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．

5．已知点A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），若A，B，C三点共线，则__________________．

6．在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则边上的中线长为_________________.


7．在三棱锥中，平面平面，，，，，，则的长为___________.


8．在长方体中，，，点为底面上一点，则的最小值为________.

练真题TIDHNEG

1．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面

2．在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）

A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和②

3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. 15 B. 56 C. 55 D. 22

4.如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.
（1）证明：；
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

5.如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角F–AE–P的余弦值；
（3）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

七、立体几何中的向量方法
【知识清单】
知识点1．利用空间向量证明平行问题
1.直线的方向向量与平面的法向量的确定
①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为
2.用向量证明空间中的平行关系
①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.
②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.
知识点2．利用空间向量证明垂直问题
1. 用向量证明空间中的垂直关系
①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
2.共线与垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．
知识点3．异面直线所成的角
1.两条异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．
②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是．
③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有.
知识点4．直线与平面所成角
1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.

知识点5．二面角
1．求二面角的大小
(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．
知识点6．利用向量求空间距离
1．空间向量的坐标表示及运算
(1)数量积的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；
②λa＝(λa1，λa2，λa3)；
③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)共线与垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．
(3)模、夹角和距离公式
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则|a|＝＝，
cos〈a，b〉＝＝.
设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，
则.
2. 点面距的求法
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.


【考点分类剖析】
考点一 ：利用空间向量证明平行问题
【典例1】如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.
（1） 当时，证明：直线平面.









【规律方法】
利用空间向量证明平行的方法

【变式探究】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.

（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；




【总结提升】
证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题．

考点二 ：利用空间向量证明垂直问题
【典例2】已知正方体，是棱的中点，则在棱上存在点，使得（ ）
A． B．
C．平面 D．平面


【规律方法】
用空间向量证明垂直问题的方法


【变式探究】
在边长是2的正方体-中，分别为的中点. 应用空间向量方法求解下列问题.
x
z
y

(1)求EF的长
(2)证明：平面；
(3)证明: 平面.

【总结提升】
1.证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．
2.要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础．
3.证明线面垂直，可利用判定定理．如本题解法．
4.用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直．

考点三 ： 异面直线所成的角
【典例3】如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD.

（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求EF与C1G所成角的余弦值.





【特别提醒】
提醒：两异面直线所成角θ的范围是，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角．



【变式探究】
由两块直角三角形拼成如图所示的空间立体图形，其中，当时，此时四点外接球的体积为__________；异面直线所成角的余弦为__________.


【总结提升】
向量法求两异面直线所成角的步骤
(1)选好基底或建立空间直角坐标系；
(2)求出两直线的方向向量v1，v2；
(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解．


考点四 ： 直线与平面所成角
【典例4】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.




【规律方法】
利用向量法求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.



【变式探究】如图，在正方体中，E为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．




考点五 ： 二面角
【典例5】已知在四棱锥中，平面为的中点.

（1）求证;平面;
（2）若，求锐二面角的余弦值.










【规律方法】
利用向量法计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
【变式探究】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.





考点六 ： 利用向量求空间距离
【典例6】如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，，分别为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求直线与平面之间的距离．





【变式探究】如图，在四棱锥中，交于点，，，底面．

求证：底面；
若是边长为2的等边三角形，求点到平面的距离．





线线角、线面角、二面角、距离问题作业
1．如图，在三棱锥中，底面，，为的中点，为中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求与平面成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由．














2．如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且．
（1）求证：平面；
（2）求多面体的体积；
（3）求二面角的平面角的余弦值．










3．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围．















4．如图，在几何体中，底面是平行四边形，，，，，，平面，与交于点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若平面 与平面 所成的锐二面角余弦值为，求线段的长度．













5．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，为的中点，平面平面．
求与成角的余弦值
（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；
（Ⅲ）在棱上是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由











6．如图，三棱柱中，侧面为的菱形，．
（1）证明：平面平面．
（2）若，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．














7．如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，，．
（Ⅰ）若，求证：平面；
（Ⅱ）若，，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．















8．如图，在三棱锥中，平面，，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．











9．如图，在直三棱柱中，．
（1）若，求证：平面；
（2）若，是棱上的一动点．试确定点的位置，使点到平面的距离等于．













10．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，．
（1）证明：；
（2）当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小．