高端精品高中数学一轮专题-数学归纳法（精讲）（带答案）教案

数学归纳法

考点一 增项问题

【例1】用数学归纳法证明的过程中，当从到时，等式左边应增乘的式子是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】当时，等式左边，

当时，等式左边，

因此，当从到时，等式左边应增乘的式子为.故选：C.

【一隅三反】

1．()，那么共有（    ）项.

A． B． C． D．以上都不对

【答案】B

【解析】，共有项．

故选：B．

2．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（    ）

A．增加了     B．增加了

C．增加了  D．增加了

【答案】D

【解析】用数学归纳法证明不等式的过程中

由时，，①

当时，左边，

，②，

②①得：左边.

故选：D.

3．用数学归纳法证明等式（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由数学归纳法知第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到

4．用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】当时，不等式左边为

当时，不等式左边为

即由到时，不等式左边应添加的项是

故选：D

考点二 等式的证明

【例2】用数学归纳法证明.

【答案】见解析

【解析】证明：①当时，左边，右边，等式成立；

②假 设 当 时等式成立，

即.

那么，

即当时等式也成立.

由①②知，等式对任何都成立.

【一隅三反】

1．用数学归纳法证明等式.

【答案】证明见解析

【解析】①当时，左边，

右边，左边右边，原等式成立；

②假设当时等式成立，

即有，

那么，当时，，

所以当时，等式也成立，

由①②知，对任意，都有.

2．用数学归纳法证明：.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）要证明成立，只需证明成立，

即证明成立，只需证明成立，即证明成立，

因为显然成立，所以原不等式成立，即；

（2）①当时，，等式左边，右边，等式成立；

②设当时，等式成立，即，

则当时，

，

即成立，

综上所述，．

考点三 不等式的证明

【例3】用数学归纳法证明：.

【答案】证明见解析

【解析】先证明出，，即，

构造函数，

当时，则，

所以，函数在上单调递增，则，

则，即，

即，

对任意的，当时，.

当时，左边，右边，左边右边；

假设当时，不等式成立，即.

则当时，则.

这说明，当时，原不等式也成立.

综上所述，对任意的，.

【一隅三反】

1．证明：不等式，恒成立.

【答案】见解析

【解析】当时，成立

假设时，不等式成立

那么时

，，，

即时，该不等式也成立

综上：不等式，恒成立.

2．试用数学归纳法证明.

【答案】证明见解析

【解析】（1）当时，左边＝，右边＝，不等式成立；

（2）假设当时，原不等式成立，即，

当时，

∵

∴．即，

所以，当时，不等式也成立．

根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立．

考点四 整除问题

【例4】用数学归纳法证明：能被133整除．

【答案】见解析

【解析】证明：  ①当时，能被133整除，所以时结论成立，．

②假设当时，能被133整除，那么当时，

．

由归纳假设可知能被133整除，即能被133整除．所以时结论也成立

综上，由①②得，能被133整除

【一隅三反】

1．求证：能被整除．

【答案】证明见解析.

【解析】当n=1时，能被整除，

假设当,时能被整除，

则当时，，

其中能被整除，所以能被整除，

所以能被整除，

即当时，能被整除，

所以能被整除.

2．用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．

【答案】见解析

【解析】证明：（1）当时，，能被9整除，

故当时， 能被9整除．

（2）假设当时，命题成立，即能被9整除，

则当时，也能被9整除.

综合(1)(2)可得, 对任意正整数能被9整除．

考点五 数归在数列的应用

【例5】设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．

（1）求，，的值，猜想的表达式；

（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．

【答案】（1），，，，；（2）证明见解析．

【解析】（1）当时，，∴，

当时，，∴，

∴，，

猜想，；

（2）下面用数学归纳法证明：

①当时，，，猜想正确；

②假设时，猜想正确，即，

那么当时，

可得，

即时，猜想也成立．

综上可知，对任意的正整数，都成立．

【一隅三反】

1．已知数列的前项和为，，且.

（1）求、、；

（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

【答案】（1），，；（2）猜想，证明见解析.

【解析】（1），

当时，，解得，即有；

当时，，解得，则；

当时，，解得，则；

（2）由（1）猜想可得数列的通项公式为．

下面运用数学归纳法证明．

①当时，由（1）可得成立；

②假设，成立，

当时，，

即有，

则，

当时，上式显然成立；

当时，，即，

则当时，结论也成立．

由①②可得对一切，成立．

2．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．

（1）求数列、的通项公式；

（2）数列满足：，，证明

【答案】（1），；（2）详见解析.

【解析】（1）由题意，得，

即，解得或，已知故．

，．

当时，，

当时，，

当时，满足上式，

，．

（2）

法1．，

，累加得当，，

当，

∴

法2．先用数学归纳法证明当，．

①当时，，左式>右式，不等式成立．

②假设时，不等式成立，即

当时，，因为在上单调递增，由，得，即，可得，不等式也成立．

③由①②得证当，．

.

3．若，且.

（1）求，， ，，

（2）归纳猜想通项公式，用数学归纳法证明.

【答案】（1）；（2），证明见解析．

【解析】（1）因为，且.

所以，，，；

（2）猜想．

可用数学归纳法证明．

①已成立；

②假设时，，则，

时，命题也成立，

综上对所有正整数，都有．