高端精品高中数学一轮专题-圆锥曲线 题型上——全析高考常考的6大题型（讲）（带答案）教案

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解析几何压轴大题的解题策略指导
题型上——全析高考常考的6大题型
题型一　圆锥曲线中的定点问题
圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：
一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．
二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．
三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标．
[典例]　已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a＞1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
[解]　(1)由题设得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)．则＝(a,1)，＝(a，－1)．
由·＝8，得a2－1＝8，即a＝3.所以E的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，
由题意可知－3＜n＜3.由于直线PA的方程为y＝(x＋3)，
所以y1＝(x1＋3)．直线PB的方程为y＝(x－3)，所以y2＝(x2－3)．
可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．由于＋y＝1，故y＝－，
可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.　①
将x＝my＋n代入＋y2＝1，得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.
所以y1＋y2＝－，y1y2＝.
代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2·(m2＋9)＝0.解得n＝或n＝－3(舍去)．
故直线CD的方程为x＝my＋，即直线CD过定点.
若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点. 综上，直线CD过定点.
[方法技巧]
求解圆锥曲线中定点问题的2种方法
(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
(2)直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k当成变量，将变量x，y当成常数，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式；②根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．　　
[针对训练]
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点在椭圆上，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点M(t,2)(t≠0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．
解：(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：易知A(0,1)，B(0，－1)，则直线MA的方程为y＝x＋1，
直线MB的方程为y＝x－1. 联立得x2＋x＝0，
于是xP＝，yP＝，同理可得xQ＝，yQ＝，
又由点M(t,2)(t≠0)及椭圆的对称性可知，若PQ过定点，则定点在y轴上，
设为N(0，n)，则直线PN的斜率k1＝，直线QN的斜率k2＝，
令k1＝k2，则＝， 化简得＝，
即(1－2n)(t2＋12)＝0，由于t为变量，则1－2n＝0，故n＝，所以直线PQ过定点.
2．已知双曲线C：－y2＝1.
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)由双曲线的方程可知a＝2，c＝＝，∴双曲线的离心率e＝＝.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1－4k2)x2－8mkx－4(m2＋1)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
∵以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(－2,0)，∴·＝0，
∴y1y2＋x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝0，∴＋＋＋4＝0，
∴3m2－16mk＋20k2＝0，解得m＝2k或m＝k.
当m＝2k时，直线l的方程为y＝k(x＋2)，直线l过定点(－2,0)，与已知矛盾；
当m＝k时，直线l的方程为y＝k，直线l过定点，经检验符合题意．
∴直线l过定点，定点坐标为.
题型二　圆锥曲线中的定值问题
圆锥曲线中的定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题.其求解步骤一般为：
一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等,
二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，但是能整体约分也可以),
三定值：化简式子得到定值.由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值.
[典例]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)．
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
[解]　(1)由题设得＋＝1，＝，解得a2＝6，b2＝3. 所以C的方程为＋＝1.
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．若直线MN与x轴不垂直，
设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
于是x1＋x2＝－，x1x2＝.① 由AM⊥AN知·＝0，
故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0， 可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.
将①代入上式可得(k2＋1)－(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0，
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0. 因为A(2,1)不在直线MN上，
所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1.于是MN的方程为y＝k－(k≠1)．
所以直线MN过点P. 若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1)．
由·＝0得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.
又＋＝1，可得3x－8x1＋4＝0.解得x1＝或x1＝2(舍去)．
此时直线MN过点P. 令Q为AP的中点，即Q.
若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，
故|DQ|＝|AP|＝. 若D与P重合，则|DQ|＝|AP|.
综上，存在点Q，使得|DQ|为定值．
[方法技巧]
圆锥曲线中定值问题的特点及2大解法
(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．
(2)两大解法：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引进变量法：其解题流程为

[针对训练]
设椭圆C：＋＝1的右焦点为F，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)若＝2，求l的方程；
(2)设过点A作x轴的垂线交C于另一点P，若M是△PAB的外心，证明：为定值．
解：(1)由题意知，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的方程为x＝ty＋1，
代入＋＝1得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝，
由＝2，得y1＝－2y2，解得t＝±，所以l的方程为y＝±(x－1)．
(2)证明：由(1)得AB的中点坐标为.
|AB|＝|y1－y2|＝·＝.
因为M是△PAB的外心，所以M是线段AB的垂直平分线与AP的垂直平分线的交点，
AB的垂直平分线方程为y＋＝－t，
令y＝0，得x＝，即M，所以|MF|＝＝，
则＝＝＝4，所以为定值．
题型三　构造目标不等式解决范围问题
欲求变量的取值范围，可设法构造含有变量的不等式(组)，通过解不等式(组)来达到目的.
[典例]　已知点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，点P(0，－2)，直线BP交E于点Q，＝，且△ABP是等腰直角三角形．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．
[解]　(1)由△ABP是等腰直角三角形，知a＝2，B(2,0)．
设Q(x0，y0)，由＝，得x0＝，y0＝－，
代入椭圆方程，解得b2＝1，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率存在，设方程为y＝kx－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝. 由直线l与E有两个不同的交点，得Δ＞0，
则(－16k)2－4×12×(1＋4k2)＞0，解得k2＞.①
由坐标原点O位于以MN为直径的圆外，则·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，
则x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·－2k·＋4＞0，解得k2＜4.②
联立①②可知＜k2＜4，解得－2＜k＜－或＜k＜2，
故直线l斜率的取值范围为∪.
[方法技巧]
圆锥曲线中范围问题的5个解题策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．　　

[针对训练]
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(a，2)在抛物线C上．
(1)若|MF|＝6，求抛物线的标准方程；
(2)若直线x＋y＝t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为(1,0)，且满足NA⊥NB，原点O到直线AB的距离不小于，求p的取值范围．
解：(1)由题意及抛物线的定义得，a＋＝6，又点M(a，2)在抛物线C上，所以20＝2pa，
由解得或所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝20x.
(2)联立消去y，整理得x2－(2t＋2p)x＋t2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2t＋2p，x1x2＝t2.
因为NA⊥NB，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，又y1＝t－x1，y2＝t－x2，
所以2x1x2－(1＋t)(x1＋x2)＋t2＋1＝0，得2p＝.
由原点O到直线AB的距离不小于，得≥ ，即t≤－2(舍去)或t≥2，
因为2p＝＝t＋1＋－4，函数y＝在t∈[2，＋∞)上单调递增，
所以p≥，即p的取值范围为.
题型四　构造函数模型解决最值问题
若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，常构建的函数模型有：(1)二次型函数；(2)双曲线型函数；(3)多项式型函数.
[典例]　已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.
①证明：△PQG是直角三角形；
②求△PQG面积的最大值．
[解]　(1)由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，
所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆．
(2)①证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)．
由得x＝±.设u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．
于是直线QG的斜率为，其方程为y＝(x－u)．
由消去y，得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.(*)
设G(xG，yG)，则－u和xG是方程(*)的解，故xG＝，由此得yG＝.
从而直线PG的斜率为＝－.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．
②由①得|PQ|＝2u，|PG|＝，
所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝＝.
设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．
因为S＝在[2，＋∞)上单调递减，
所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为.
因此，△PQG面积的最大值为.
[方法技巧]
求解圆锥曲线中最值问题的2种方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
(1)利用几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
(2)利用代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．　　
[针对训练]
如图，已知抛物线x2＝y.点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－0)的长轴A1A2的长为4，过椭圆的右焦点F作斜率为k(k≠0)的直线交椭圆于B，C两点，直线BA1，BA2的斜率之积为－.
(1)求椭圆P的方程；
(2)已知直线l：x＝4，直线A1B，A1C分别与l相交于M，N两点，设E为线段MN的中点，求证：BC⊥EF.
[解]　(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，因为点B在椭圆上，
所以＋＝1，故y＝(a2－x)．又A1(－a,0)，A2(a,0)，
所以kBA1·kBA2＝·＝－，即＝，又a＝2，所以b＝，
故椭圆P的方程为＋＝1.
(2)证明：设直线BC的方程为y＝k(x－1)，B(x1，y1)，C(x2，y2),
联立方程组消去y并整理得，(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝. 直线A1B的方程为y＝(x＋2)，
令x＝4得yM＝，同理yN＝，
所以yE＝(yM＋yN)＝3＝，
代入化简得yE＝－，即点E，又F(1,0)，
所以kEF·kBC＝·k＝－1，所以BC⊥EF.
[方法技巧]
圆锥曲线证明问题的类型及求解策略
(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．　　
[针对训练]
如图，菱形ABCD的面积为8.·＝－4，斜率为k的直线l交y轴于点P，且＝2，以线段BD为长轴，AC为短轴的椭圆与直线l相交于M，N两点(M与A在x轴同侧)．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：AN与CM的交点在定直线y＝1上．
解：(1)设A(0，b)，B(－a,0)，D(a,0), ＝(－a，－b)，＝(a，－b)．
∴AB·AD＝－a2＋b2，∴解得a2＝8，b2＝4，∴椭圆方程为＋＝1.
(2)证明：易得P(0,4)，设直线l：y＝kx＋4，与椭圆x2＋2y2＝8联立，
得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.由Δ>0得k2>，设M(x1，kx1＋4)，N(x2，kx2＋4)，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，∴kMC＝，直线MC的方程为y＋2＝x，①
kAN＝，直线AN的方程为y－2＝x，② 联立①②消去x，得
＝＝＝＝＝＝＝－3， ∴y＝1，从而命题得证．

题型六　圆锥曲线中的存在性问题
存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在.若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
[典例]　已知曲线C上动点M与定点F(－，0)的距离和它到定直线l1：x＝－2的距离的比是常数，若过P(0,1)的动直线l与曲线C相交于A，B两点．
(1)说明曲线C的形状，并写出其标准方程；
(2)是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)设动点M坐标为M(x，y)，点M到直线l1：x＝－2的距离为d.
依题意可知＝，则＝，化简得＋＝1，
所以曲线C是椭圆，它的标准方程为＋＝1.
(2)①当直线l与y轴垂直时，由椭圆的对称性可知|PA|＝|PB|，又因为＝，则|QA|＝|QB|，
从而点Q必在y轴上．
②当直线l与x轴垂直时，则A(0，)，B(0，－)，由①可设Q(0，y0)(y0≠1)，
由＝得＝，解得y0＝1(舍去)或y0＝2.
则点Q的坐标只可能是Q(0,2)．
下面只需证明直线l斜率存在且Q(0,2)时均有＝即可．设直线l的方程为y＝kx＋1，代入＋＝1得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以＋＝＝2k，
设点B关于y轴对称的点坐标B′(－x2，y2)，
因为直线QA的斜率kQA＝＝＝k－，
同理得直线QB′的斜率kQB′＝＝＝－k＋，
kQA－kQB′＝2k－＝2k－2k＝0，kQA＝kQB′，三点Q，A，B′共线．
故＝＝＝.
所以存在点Q(0,2)满足题意．
[方法技巧]
圆锥曲线中存在性问题的求解方法
(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．　　

[针对训练]
1．已知抛物线y2＝4x，过点P的动直线l交抛物线于A，B两点．
(1)当P恰为AB的中点时，求直线l的方程；
(2)抛物线上是否存在一个定点Q，使得以弦AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设A，B两点坐标分别为，，当P恰为AB的中点时，
显然x1≠x2，故kAB＝＝，又y1＋y2＝－8，故kAB＝－，
则直线l的方程为y＝－x.
(2)假设存在定点Q，设Q，当直线l斜率存在时，
设l：y＝k－4，A，B，联立
整理得ky2－4y－32k－16＝0，Δ>0，y1＋y2＝，y1y2＝－32－，
由以弦AB为直径的圆恒过点Q知·＝0，即＋＝0，
即＋＝＝0，
故＝－16，即y1y2＋y0＋y＋16＝0，整理得k＋4＝0，
即当y0＝4时，恒有 ·＝0，故存在定点Q满足题意；
当直线l斜率不存在时，l：x＝8，不妨令A(8,4)，B(8，－4)，Q，
也满足·＝0.
综上所述，存在定点Q，使得以弦AB为直径的圆恒过点Q.
2．双曲线C：x2－y2＝2右支上的弦AB过右焦点F.
(1)求弦AB的中点M的轨迹方程；
(2)是否存在以AB为直径，且过原点O的圆？若存在，求出直线AB的斜率k的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)．因为双曲线C：x2－y2＝2的右焦点为F(2,0)，
所以①当AB⊥x轴时，x＝2，y＝0. ②当AB与x轴不垂直时，由x－y＝2，x－y＝2，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
又x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，所以x(x1－x2)－y(y1－y2)＝0.
因为kAB＝＝kFM＝，所以x(x－2)－y·y＝0，即x2－2x－y2＝0.
又点(2,0)满足上式，点A，B在双曲线x2－y2＝2的右支上，所以x≥2，
故所求中点M的轨迹方程为x2－2x－y2＝0(x≥2)．
(2)假设存在以AB为直径，且过原点O的圆．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当AB⊥x轴时，|AF|≠|OF|，所以可设lAB：y＝k(x－2)(k≠±1)．
由已知得OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0.(*)由得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.所以y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝，
x1x2＋y1y2＝－＝≠0，与(*)式矛盾，
所以不存在以AB为直径，且过原点O的圆．