高端精品高中数学一轮专题-直线与圆锥曲线的位置关系（练）（带答案）试卷

这是一份高端精品高中数学一轮专题-直线与圆锥曲线的位置关系（练）（带答案）试卷，共9页。
一、关键点练明
1．(直线与圆锥曲线的位置关系)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．故选C.
2．(弦长公式)过抛物线y＝eq \f(1,4)x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0,1)，
直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x＋1，
即x＝eq \r(3)(y－1)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,x＝\r(3)y－1，))
消去x得3(y－1)2＝4y，
即3y2－10y＋3＝0，y1＋y2＝eq \f(10,3)，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝eq \f(16,3).
答案：eq \f(16,3)
二、易错点练清
1．(忽视相切与交点个数的关系)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选A.
2．(忽略直线过定点)直线y＝kx－k＋1与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．故选A.
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、综合练——练思维敏锐度
1．直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的交点个数是( )
A．1 B．2
C．1或2 D．0
解析：选A 因为直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线的渐近线y＝eq \f(b,a)x平行，所以它与双曲线只有1个交点．
2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为eq \f(10,3)，则|AB|＝( )
A.eq \f(13,3) B．eq \f(14,3)
C．5 D．eq \f(16,3)
解析：选D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2.∵p＝2，∴|AB|＝2＋eq \f(10,3)＝eq \f(16,3).
3．过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．eq \f(3,2)
C.eq \r(3) D．eq \r(2)
解析：选D ∵过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y＝eq \f(b,a)x平行，∴eq \f(b,a)＝1，由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(2).
4．已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－2x＋5
C．y＝－x＋3 D．y＝2x－3
解析：选D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，①,y\\al(2,2)＝4x2， ②))①－②得yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2.∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝eq \f(4,2)＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.
5．(多选)设椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是( )
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0
C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))
D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝eq \f(4\r(2),3)
解析：选BD 对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝－eq \f(4,2)＝ －2≠－1，所以A项不正确；对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，
所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确；
对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))，则kAB·kOM＝1·4＝4≠－2，所以C项不正确；
对于D项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得：3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－eq \f(4,3)，所以|AB|＝eq \r(1＋12)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)－0))＝eq \f(4\r(2),3)，所以D项正确．
6.如图，过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq \f(1,3)