高端精品高中数学一轮专题-抛物线（练）（带答案）试卷

这是一份高端精品高中数学一轮专题-抛物线（练）（带答案）试卷，共9页。
一、关键点练明
1．(抛物线的标准方程)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A．y2＝±2eq \r(2)x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4eq \r(2)x
解析：选D 由已知知双曲线的焦点为(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则eq \f(p,2)＝eq \r(2)，所以p＝2eq \r(2)，所以抛物线方程为y2＝±4eq \r(2)x.故选D.
2．(抛物线的定义)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A.eq \f(17,16) B．eq \f(15,16)
C.eq \f(7,8) D．0
解析：选B M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－eq \f(1,16)，设M(x，y)，则y＋eq \f(1,16)＝1，∴y＝eq \f(15,16).
3．(抛物线的性质)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：选D 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的焦点坐标为(±eq \r(2p)，0)．
由题意得eq \f(p,2)＝eq \r(2p)，解得p＝0(舍去)或p＝8.
二、易错点练清
1．(忽视抛物线的标准形式)抛物线y＝－2x2的准线方程是( )
A．x＝eq \f(1,2) B．x＝eq \f(1,8)
C．y＝eq \f(1,2) D．y＝eq \f(1,8)
解析：选D 抛物线方程为x2＝－eq \f(1,2)y，所以p＝eq \f(1,4)，准线方程为y＝eq \f(1,8).
2．(忽视抛物线的开口方向)过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y B．y2＝eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y
C．y2＝eq \f(9,2)x或x2＝－eq \f(4,3)y D．y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝－eq \f(4,3)y
解析：选A 设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－eq \f(9,2)，m＝eq \f(4,3)，所以y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y.故选A.
3．(忽视焦点的位置)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为______________．
解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4,0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.
答案：y2＝16x或x2＝－8y
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大eq \f(1,2)，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：选B 由抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大eq \f(1,2)，根据抛物线的定义可得eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，所以p＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝2x.故选B.
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为eq \r(3)，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(eq \r(3)，0) B．(0，eq \r(3))
C．(2eq \r(3)，0) D．(0,2eq \r(3))
解析：选A 抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为eq \r(3)，就是顶点到焦点的距离是eq \r(3)，即eq \f(p,2)＝eq \r(3)，则抛物线的焦点坐标为(eq \r(3)，0)．故选A.
3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选D 依题意，△OFM的外接圆半径为6，△OFM的外接圆圆心应位于OF的垂直平分线x＝eq \f(p,4)上，圆心到准线x＝－eq \f(p,2)的距离为6，即eq \f(p,4)＋eq \f(p,2)＝6，解得p＝8，故选D.
4．若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝4eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A．1 B．2
C．3 D．5
解析：选A 由|AB|＝4eq \r(2)及AB⊥x轴，不妨设点A的纵坐标为2eq \r(2)，代入y2＝4x得点A的横坐标为2，从而直线AB的方程为x＝2.又y2＝4x的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB的距离为2－1＝1，故选A.
5．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|PF|－|PE|的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 因为抛物线y2＝8x，所以抛物线的准线方程为x＝－2，因为P在y轴上的投影为点E，所以|PE|即为点P到x＝－2的距离减去2，因为点P在该抛物线上，
故点P到x＝－2的距离等于|PF|，
所以|PE|＝|PF|－2，故|PF|－|PE|＝2，故选B.
6．已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．
解析：由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2eq \r(a))(a>0)．
又直线被抛物线截得的线段长为4，
所以4eq \r(a)＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
答案：(1,0)
二、综合练——练思维敏锐度
1．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝6x
C．y2＝8x D．y2＝10x
解析：选C ∵抛物线y2＝2px，∴准线为x＝－eq \f(p,2).
∵点P(2，y0)到其准线的距离为4，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)－2))＝4.
∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝8x.
2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选A 由题意知抛物线的准线为x＝－eq \f(1,4).因为|AF|＝eq \f(5,4)x0，根据抛物线的定义可得x0＋eq \f(1,4)＝|AF|＝eq \f(5,4)x0，解得x0＝1.故选A.
3．双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A.eq \f(3,16) B．eq \f(3,8)
C.eq \f(16,3) D．eq \f(8,3)
解析：选A ∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴双曲线中c＝1，又e＝2，∴eq \f(1,\r(m))＝2，∴m＝eq \f(1,4)，∴n＝eq \f(3,4)，∴mn＝eq \f(3,16).
4．已知点A(0,2)，抛物线C1：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶eq \r(5)，则a的值为( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．1 D．4
解析：选D 依题意，点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，如图，设点M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，|KM|∶|MN|＝1∶eq \r(5)，则|KN|∶|KM|＝2∶1.∵kFN＝eq \f(0－2,\f(a,4)－0)＝－eq \f(8,a)，kFN＝－eq \f(|KN|,|KM|)＝－2，∴eq \f(8,a)＝2，解得a＝4.
5．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线( )
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
解析：选B 连接PF，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.
6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为4，则|AB|＝( )
A．6 B．8
C．12 D．16
解析：选D 设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),4)，y2))，F(1,0)．当AB⊥x轴时，|AB|＝4，S△AOB＝eq \f(1,2)|OF|·|AB|＝2，不成立，所以eq \f(y2,\f(y\\al(2,2),4)－1)＝eq \f(y1,\f(y\\al(2,1),4)－1)⇒y1y2＝－4.由△AOB的面积为4，得eq \f(1,2)|y1－y2|×1＝4，所以yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)＝56，因此|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(y\\al(2,1)＋y\\al(2,2),4)＋2＝16.
7．已知抛物线y2＝2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为( )
A．x＋2y＋1＝0 B．3x＋6y＋4＝0
C．2x＋6y＋3＝0 D．x＋3y＋2＝0
解析：选B 把A(2,2)代入y2＝2px得p＝1，
又直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，
易得AB方程为y－2＝eq \r(3)(x－2)，
AC方程为y－2＝－eq \r(3)(x－2)，
联立AB方程和抛物线方程得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)－\f(4,\r(3))，\f(2,\r(3))－2))，
同理：Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)＋\f(4,\r(3))，－\f(2,\r(3))－2))，
由B，C两点坐标可得直线BC的方程为3x＋6y＋4＝0，所以选B.
8．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq \r(3)，则下列说法正确的是( )
A．△ABF是等边三角形
B．|BF|＝3
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
解析：选ACD ∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.
∵△ABF的面积为eq \f(\r(3),4)|BF|2＝9eq \r(3)，∴|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.
9．若抛物线y2＝8x上一点P(m，n)到其焦点的距离为8m，则m＝______.
解析：由题意得，抛物线的准线方程为x＝－2，
又点P(m，n) 到焦点的距离为8m，
所以|PF|＝m＋2＝8m，解得m＝eq \f(2,7).
答案：eq \f(2,7)
10．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x＋4y＋25＝0上存在点M，使得∠AMB＝90°，则实数p的取值范围是________．
解析：由题得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，
∵M在直线3x＋4y＋25＝0上，设点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(－3x－25,4)))，
∴ eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)，\f(－3x－25,4)))，eq \(BM,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)，\f(－3x－25,4))).
又∠AMB＝90°，
∴eq \(AM,\s\up7(―→))·eq \(BM,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－3x－25,4)))2＝0，
即25x2＋150x＋625－4p2＝0，∴Δ≥0，
即1502－4×25×(625－4p2)≥0，
解得p≥10，或p≤－10，
又p>0，∴p的取值范围是[10，＋∞)．
答案：[10，＋∞)
11．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，|MN|＝16.
(1)求抛物线C的方程；
(2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)当直线l的倾斜角为45°时，l的斜率为1，
∵Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，∴l的方程为y＝x－eq \f(p,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px，))得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，
∴|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝16，p＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)假设满足题意的点P存在．
设P(a,0)，由(1)知F(2,0)，
①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,y2＝8x))得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
则x1＋x2＝eq \f(4k2＋8,k2)，x1x2＝4.
Δ＝[－(4k2＋8)]2－4·k2·4k2＝64k2＋64>0，
∵直线PM，PN关于x轴对称，
∴kPM＋kPN＝0，
又kPM＝eq \f(kx1－2,x1－a)，kPN＝eq \f(kx2－2,x2－a)，
∴k(x1－2)(x2－a)＋k(x2－2)(x1－a)＝k[2x1x2－(a＋2)(x1＋x2)＋4a]＝－eq \f(8a＋2,k)＝0，
∴a＝－2，此时P(－2,0)．
②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可．
综上，存在唯一的点P(－2,0)，使直线PM，PN关于x轴对称．
三、自选练——练高考区分度
1．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经过抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为( )
A.eq \f(71,12)＋eq \r(26) B．9＋eq \r(10)
C.eq \f(83,12)＋eq \r(26) D．9＋eq \r(26)
解析：选D 对于y2＝4x，令y＝1，得x＝eq \f(1,4)，即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，结合抛物线的光学性质，得AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立可得，k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，据此可得xAxB＝1，∴xB＝eq \f(1,xA)＝4.
∴|AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(25,4).
将x＝4代入y2＝4x可得y＝±4，故B(4，－4)，
∴|MB|＝eq \r(4－32＋－4－12)＝eq \r(26).
∴△ABM的周长为|MA|＋|MB|＋|AB|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(1,4)))＋eq \f(25,4)＋eq \r(26)＝9＋eq \r(26).故选D.
2．(多选)设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A．|AB|≥4
B．|OA|＋|OB|>8
C．若点P(2,2)，则|PA|＋|AF|的最小值是3
D．△OAB的面积的最小值是2
解析：选ACD F(1,0)，如图，不妨设A在第一象限．
(1)若直线l斜率不存在，则A(1,2)，B(1，－2)，则|AB|＝4，|OA|＋|OB|＝2|OA|＝2eq \r(5)，S△OAB＝eq \f(1,2)×4×1＝2，显然B错误；
(2)若直线l斜率存在，设直线l斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，显然k≠0，
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消元得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)＝2＋eq \f(4,k2)，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋eq \f(4,k2)>4，原点O到直线l的距离d＝eq \f(|k|,\r(k2＋1))，∴S△OAB＝eq \f(1,2)×|AB|×d＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(4,k2)))×eq \f(|k|,\r(k2＋1))＝2eq \r(1＋\f(1,k2))>2.
综上，|AB|≥4，S△OAB≥2，故A正确，D正确．过点A向准线作垂线，垂足为N，则|PA|＋|AF|＝|PA|＋|AN|，又P(2,2)在抛物线右侧，故当P，A，N三点共线时，|PA|＋|AF|取得最小值3，故C正确．故选A、C、D.
3．(多选)已知过抛物线C：y2＝4x焦点的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2＋y2－2x＝0于M，N两点，其中P, M位于第一象限，则eq \f(1,|PM|)＋eq \f(4,|QN|)的值可能为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选BCD 如图所示，可设eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF))＝m，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(QF))＝n，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PM))＝m－1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(QN))＝n－1，∵y2＝4x，∴p＝2，根据抛物线的常用结论，有eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(2,p)＝1，∴eq \f(m＋n,mn)＝1，则m＋n＝mn，
∴eq \f(1,|PM|)＋eq \f(4,|QN|)＝eq \f(1,m－1)＋eq \f(4,n－1)＝eq \f(4m＋n－5,mn－m＋n＋1)＝4m＋n－5，
又∵(4m＋n)·1＝(4m＋n)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝4＋eq \f(4m,n)＋eq \f(n,m)＋1≥5＋2 eq \r(\f(4m,n)·\f(n,m))＝9，得4m＋n≥9，
∴4m＋n－5≥4，则eq \f(1,|PM|)＋eq \f(4,|QN|)的值不可能为3.