高端精品高中数学一轮专题-直线与圆的位置关系（讲）（带答案）教案

这是一份高端精品高中数学一轮专题-直线与圆的位置关系（讲）（带答案）教案，共17页。教案主要包含了知识清单，考点分类剖析，规律方法，变式探究，方法点晴，总结提升，典例10，典例11等内容，欢迎下载使用。
直线与圆的位置关系新课程考试要求1.掌握圆的标准方程与一般方程.2.会解决直线与圆的位置关系的问题，会判断圆与圆的位置关系.3.理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.核心素养本节涉及直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理、数学抽象、数据分析等核心数学素养.高考预测（1）高考对圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题．纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.（2）主要考查一是直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．二是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.【知识清单】知识点1．圆的方程1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．2．圆的标准方程(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．(2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．3．圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．(2) 对方程：.①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；②若，则方程只表示一个点，；③若，则方程不表示任何图形．4.点与⊙C的位置关系(1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔；(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔；(3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔.知识点2．圆的方程综合应用1. 圆的标准方程为：2．圆的一般方程．：（）.3.点到直线的距离：.知识点3．直线与圆相切1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；3.代数法：，方程组有一组不同的解.知识点4．直线与圆相交及弦长1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；3.代数法：，方程组有两组不同的解.知识点5．圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.【考点分类剖析】考点一 ：求圆的方程【典例1】已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.故选：B.【典例2】已知圆过，，，（1）求圆的方程；（2）判断和圆的位置关系．【答案】（1）；（2）点在圆外．【详解】（1）设圆的方程为，因为圆过，，，则，解得，所以所求圆的方程为；（2）因为，所以点在圆外．【规律方法】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 【变式探究】1.古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为（    ）A．（x﹣5）2+y2＝16 B．x2+（y﹣5）2＝9C．（x+5）2+y2＝16 D．x2+（y+5）2＝9【答案】A【解析】设，由，得，可得：（x+3）2+y2＝4（x﹣3）2+4y2，即x2﹣10x+y2+9＝0整理得，故动点的轨迹方程为.选A.【方法点晴】求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.【答案】【解析】设，则，故圆C的方程为【总结提升】1.确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为：一根据题意选择标准方程或一般方程；二是根据题设条件列出方程组；三是由方程组求出待定的系数，代入所设的圆的方程；2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：一是圆心在过切点且与切线垂直的直线上；二是圆心在任一弦的中垂线上；3．解方程组时，把所求的值代入检验一下是否正确.考点二 ：  圆的方程综合应用【典例3】已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点做圆的切线，切点为，若，则点P的轨迹方程是____________；的取值范围 是____________．【答案】        【详解】圆，直线与轴相交于点设，由可得，即，满足的点P的轨迹是一个圆，所以问题转化为直线与圆有公共点所以，，所以实数的取值范围是：故答案为：；【典例4】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线的距离为，求该圆的方程．【答案】或【解析】设圆心为，半径为r，由条件①：.由条件②：，从而有：．由条件③：.解方程组可得：或，所以．故所求圆的方程是或． 【总结提升】1.求圆的方程，采用待定系数法：①若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程．②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程．2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任一弦的垂直平分线上．【变式探究】1.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是_________.【答案】(x－2)2＋(y＋)2＝【解析】设圆的圆心坐标，半径为，因为圆经过坐标原点和点，且与直线相切，所以，解得，所求圆的方程为，故答案为.2.已知直线被圆截得的弦长为，则的最大值为________.【答案】【解析】圆可化为,则圆心为,半径为,
又因为直线被圆截得的弦长为,
所以直线过圆心,即,化为 ,
,当且仅当时取等号,
的最大值为,故答案为.考点三 ：直线与圆相切【典例5】若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．【答案】【详解】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故.故答案为：.【典例6】已知圆，则过点作圆的切线的方程为___________.【答案】或【详解】圆的圆心坐标，半径,当切线的斜率不存在时，，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；当切线的斜率存在时，设斜率为，，即：,由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，故切线的方程为，故答案为：或【规律方法】判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．提醒：上述方法中最常用的是几何法．【变式探究】1.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线的斜率为，则反身光线所在直线方程为：，即：.又因为光线与圆相切，所以，,整理：，解得：，或,故选D．2.已知P是直线l: 上一动点，过点P作圆C:的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为___________.【答案】2【解析】由题意得：圆的方程为：∴圆心为，半径为2，又∵四边形PACB的面积，所以当PC最小时，四边形PACB面积最小．将代入点到直线的距离公式，，故四边形PACB面积的最小值为2．故答案为：2【总结提升】圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.考点四：直线与圆相交及弦长【典例7】已知圆M的方程为，过点的直线l与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为，弦长最长的弦为，则四边形的面积为（    ）A．30 B．40 C．60 D．80【答案】B【解析】圆M的标准方程为，即圆是以为圆心，5为半径的圆，且由，即点在圆内，则最短的弦是以为中点的弦，所以，所以，过最长的弦为直径，所以，且，故而.故选：B.【典例8】已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.故选：B.【总结提升】1.弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.【变式探究】1.已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．【答案】4【解析】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．故答案为42.直线与圆相交于A，B两点，弦长的最小值为________，若的面积为，则m的值为_________．【答案】2        【解析】直线恒过圆内的定点，，圆心C到直线的距离,所以，即弦长的最小值为2；由,即或.若，则圆心到弦AB的距离 ，故不符合题意；当时，圆心到直线的距离为,设弦AB的中点为N，又，故，即直线的倾斜角为，则m的值为 .故答案为2，考点五：圆与圆的位置关系【典例9】平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9，若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．【答案】【详解】解：圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径．同理圆C与圆的公共弦是圆的直径设圆C的圆心为，半径为，则，所以，即，解得所以圆C的方程为．故答案为：【典例10】在平面直角坐标系xOy中，已知圆.过原点的动直线l与圆M交于A，B两点若以线段AB为直径的圆与以M为圆心MO为半径的始终无公共点，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】圆的圆心为，半径.设以线段为直径的圆的圆心为，要使“以线段为直径的圆与以为圆心为半径的始终无公共点”，则两圆内含.即，即恒成立，即，由基本不等式有，故，所以，即，也即，解得.故填：.【规律方法】1.判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．2．两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．【变式探究】1.已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（    ）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为.圆心到直线的距离为，解得.∴圆的圆心为，半径为2，圆的标准方程为：，圆心坐标为，半径，圆心距，∴两圆相内切，故选：B.2.与圆，都相切的直线有（    ）A.条 B.条 C.条 D.条【答案】A【解析】由于圆可化为，则圆的圆心为，半径为圆可化为，则圆的圆心为，半径为所以圆，的圆心距则两个圆内切，所以它们只有1条公切线，故选：A【总结提升】比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系；两圆方程相减即得公共弦方程；公共弦长要通过解直角三角形获得．考点六 ： 直线、圆的位置关系的综合应用【典例11】【多选题】已知点在圆上，点、，则（    ）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，【答案】ACD【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.【典例12】在平面直角坐标系中，己知圆，且圆被直线截得的弦长为2.（1）求圆的标准方程；（2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程；【答案】（1）；（2）或或或；【解析】（1）圆方程可整理为：    圆的圆心坐标为，半径圆心到直线的距离：截得的弦长为：，解得：圆的标准方程为：（2）①若直线过原点，可假设直线方程为：，即直线与圆相切    圆心到直线距离，解得：切线方程为：②若直线不过原点，可假设直线方程为：，即圆心到直线距离，解得：或切线方程为或综上所述，切线方程为或或【总结提升】直线与圆的位置关系常用处理方法：（1）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（2）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（3）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．【变式探究】1.在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：x2+y2=50上，若·20，则点P的横坐标的取值范围是_________【答案】【解析】设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点P横坐标的取值范围为．2.已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.【答案】（1）；（2）2．【解析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．故由，解得：．故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点．（2）设M；N，由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，可得，∴，∴，由，解得 k=1，故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2