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高中数学一轮总复习课件6.3 平面向量的数量积与平面向量的应用
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这是一份高中数学一轮总复习课件6.3 平面向量的数量积与平面向量的应用，共51页。PPT课件主要包含了课标要求，备考指导，内容索引，知识筛查，知识巩固，答案2等内容，欢迎下载使用。
1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量垂直的条件.6.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
平面向量数量积是平面向量中最重要的知识点,也是高考命题的热点.复习时要熟练掌握平面向量数量积的线性运算和坐标运算,并会用数量积公式的变形式解决有关夹角、模、垂直等问题.注意运用转化、化归思想和数形结合思想,培养数学运算的核心素养.
第一环节 必备知识落实
第二环节 关键能力形成
第三环节 学科素养提升
2.向量的数量积已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cs θ 叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cs θ . 规定:零向量与任一向量的数量积为 0 .温馨提示1.两向量的数量积,其结果是数量,而不是向量,它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积,其符号由夹角的余弦值来决定.2.两个向量的数量积记作a·b,不能写成a×b的形式.
问题思考两个非零向量a,b的夹角为锐角,是否一定有a·b>0?反过来呢?
两个非零向量a,b的夹角为锐角,一定有a·b>0;反之不一定,事实上:两个非零向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0,且a,b不共线;两个非零向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0,且a,b不共线.
温馨提示1.在向量数量积的运算中,不能从a·b=0推出a=0或b=0.实际上由a·b=0可推出以下四个结论:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但a⊥b.2.对于向量a,b,有|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时,等号成立.这是因为|a·b|=|a||b||cs θ|,而|cs θ|≤1.3.向量的数量积不满足消去律,已知a,b,c均为非零向量,且a·c=b·c,得不到a=b.4.(a·b)·c≠a·(b·c),因为a·b,b·c是数量积,是实数,不是向量,所以(a·b)·c与向量c共线,a·(b·c)与向量a共线,因此,(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立.
6.平面向量数量积的坐标表示(1)两向量的数量积的坐标表示已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= x1x2+y1y2 .即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
2.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m等于( )A.-8B.-6C.6D.8
由题意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)⊥b,得4×3+(m-2)×(-2)=0,解得m=8,故选D.
4.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .
5.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是 .
方法二(坐标法):建立平面直角坐标系,如图所示.
解题心得1.求两个向量的数量积有两种方法:(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cs θ(其中θ是向量a与b的夹角).(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.
A.-15B.-9C.-6D.0
(2)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .
例3 (1)(2020全国Ⅱ,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b
解题心得a⊥b⇔a·b=0,既可以用来证明两向量垂直,也可以由垂直进行有关计算.
命题角度1 求平面向量的夹角
由(a-b)⊥(3a+2b),知(a-b)·(3a+2b)=0,即3|a|2-a·b-2|b|2=0.设a与b的夹角为θ(θ∈[0,π]),则3|a|2-|a||b|cs θ-2|b|2=0,
命题角度2 求参数的值或范围
解题心得1.求向量的夹角有两种方法
2.已知向量的数量积、垂直、模长等条件求参数的值或取值范围,利用公式建立方程(组)或不等式(组)求解即可.
3.用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)基底法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.4.利用向量法解决物理问题时,要认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的向量关系,通过抽象、概括把物理现象转化为与之相关的向量问题.
(2)已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m= .
对点训练5已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,D是边BC的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
对点训练6已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50 N,一个重为80 N的木块受力F的作用在水平地面上运动了20 m,木块与地面间的动摩擦因数为μ=0.02.则力F和摩擦力Ff所做的功分别为多少?
思想方法——函数思想与数形结合思想在数量积中的应用
1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量垂直的条件.6.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
平面向量数量积是平面向量中最重要的知识点,也是高考命题的热点.复习时要熟练掌握平面向量数量积的线性运算和坐标运算,并会用数量积公式的变形式解决有关夹角、模、垂直等问题.注意运用转化、化归思想和数形结合思想,培养数学运算的核心素养.
第一环节 必备知识落实
第二环节 关键能力形成
第三环节 学科素养提升
2.向量的数量积已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cs θ 叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cs θ . 规定:零向量与任一向量的数量积为 0 .温馨提示1.两向量的数量积,其结果是数量,而不是向量,它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积,其符号由夹角的余弦值来决定.2.两个向量的数量积记作a·b,不能写成a×b的形式.
问题思考两个非零向量a,b的夹角为锐角,是否一定有a·b>0?反过来呢?
两个非零向量a,b的夹角为锐角,一定有a·b>0;反之不一定,事实上:两个非零向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0,且a,b不共线;两个非零向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0,且a,b不共线.
温馨提示1.在向量数量积的运算中,不能从a·b=0推出a=0或b=0.实际上由a·b=0可推出以下四个结论:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但a⊥b.2.对于向量a,b,有|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时,等号成立.这是因为|a·b|=|a||b||cs θ|,而|cs θ|≤1.3.向量的数量积不满足消去律,已知a,b,c均为非零向量,且a·c=b·c,得不到a=b.4.(a·b)·c≠a·(b·c),因为a·b,b·c是数量积,是实数,不是向量,所以(a·b)·c与向量c共线,a·(b·c)与向量a共线,因此,(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立.
6.平面向量数量积的坐标表示(1)两向量的数量积的坐标表示已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= x1x2+y1y2 .即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
2.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m等于( )A.-8B.-6C.6D.8
由题意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)⊥b,得4×3+(m-2)×(-2)=0,解得m=8,故选D.
4.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .
5.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是 .
方法二(坐标法):建立平面直角坐标系,如图所示.
解题心得1.求两个向量的数量积有两种方法:(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cs θ(其中θ是向量a与b的夹角).(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.
A.-15B.-9C.-6D.0
(2)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .
例3 (1)(2020全国Ⅱ,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b
解题心得a⊥b⇔a·b=0,既可以用来证明两向量垂直,也可以由垂直进行有关计算.
命题角度1 求平面向量的夹角
由(a-b)⊥(3a+2b),知(a-b)·(3a+2b)=0,即3|a|2-a·b-2|b|2=0.设a与b的夹角为θ(θ∈[0,π]),则3|a|2-|a||b|cs θ-2|b|2=0,
命题角度2 求参数的值或范围
解题心得1.求向量的夹角有两种方法
2.已知向量的数量积、垂直、模长等条件求参数的值或取值范围,利用公式建立方程(组)或不等式(组)求解即可.
3.用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)基底法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.4.利用向量法解决物理问题时,要认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的向量关系,通过抽象、概括把物理现象转化为与之相关的向量问题.
(2)已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m= .
对点训练5已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,D是边BC的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
对点训练6已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50 N,一个重为80 N的木块受力F的作用在水平地面上运动了20 m,木块与地面间的动摩擦因数为μ=0.02.则力F和摩擦力Ff所做的功分别为多少?
思想方法——函数思想与数形结合思想在数量积中的应用
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