高中数学一轮总复习课件8.3　圆的方程

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1.能通过实际案例理解构成圆的几何要素.2.在平面直角坐标系中,能推导出圆的标准方程并掌握其应用.3.掌握圆的标准方程和圆的一般方程的互化,并能从二元二次方程的角度理解圆与方程的关系.4.能根据给定的条件求圆的方程,并能应用圆的方程解决实际问题.
圆的方程是高考命题的重点,在高考中以选择题或填空题的形式出现,难度中等.主要考查圆的标准方程和圆的一般方程的应用,经常与直线知识进行综合考查,有时也与椭圆、双曲线、抛物线知识相融合.本节常用的方法有公式法、代入法、待定系数法.要强化知识在实际情境的应用,加强逻辑推理、数学运算、直观想象和数学建模的素养.
第一环节　必备知识落实
第二环节　关键能力形成
第三环节　学科素养提升
1.圆的定义及方程(1)定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.(2)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为(a,b),半径为r.
2.点与圆的位置关系已知圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点(x0,y0).(1)(x0-a)2+(y0-b)2 = r2⇔点在圆上;(2)(x0-a)2+(y0-b)2 > r2⇔点在圆外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2 < r2⇔点在圆内.
2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2
3.(多选)圆x2+y2-4x-1=0(　　)A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称
圆的方程可化为(x-2)2+y2=5,可知圆心为(2,0),故圆关于点(2,0)对称,且关于经过点(2,0)的直线对称.
4.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是(　　)A.(-1,1)B.(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)
5.已知方程x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0表示圆,则实数m的取值范围为　　　　　　　. 
∵点(1,1)在圆内,∴(1-a)2+(1+a)2<4,解得-1x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0可化为(x-2)2+(y+m)2=3+2m-m2,故有3+2m-m2>0,解得-1例1　(1)过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程为(　　)A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4
(2)已知圆E经过点A(0,1),B(2,0),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为(　　)
解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法:通过研究圆的性质,求出圆的圆心及半径等基本量.确定圆心的坐标时,常用到三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任意一条弦的垂直平分线上;③当两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线.(2)代数法:设出圆的方程,用待定系数法求解.①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值;②若已知圆上三点的坐标,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,求出D,E,F的值.
对点训练1(1)已知圆C的半径为5,圆心在x轴的负半轴上,且被直线3x+4y+4=0截得的弦长为6,则圆C的方程为(　　)A.x2+y2-2x-3=0B.x2+y2+16x+39=0C.x2+y2-16x-39=0D.x2+y2-4x=0
(2)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为(　　)A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2
例2　如图,已知点A(-1,0),B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长至点D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.
解 设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心.设动点C(x0,y0)(y0≠0),依题意,C为BD的中点,B(1,0),则D(2x0-1,2y0).又A(-1,0),
解题心得求与圆有关的轨迹方程问题时,根据题设条件的不同,常采用以下方法:(1)直接法:直接根据题目提供的条件求出轨迹方程.(2)定义法:根据圆、直线等定义求出轨迹方程.(3)几何法:利用圆的几何性质求出轨迹方程.(4)相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式,进而求出轨迹方程.
对点训练2已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
解 (1)由题意知A,P两点不重合,设AP的中点为M(x,y),则点P的坐标为(2x-2,2y),其中x≠2.因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).(2)设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,图略,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,即x2+y2-x-y-1=0.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
命题角度2 截距型最值问题例4　在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.
解 y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距.如图,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,
命题角度3 距离型最值问题例5　在例3的条件下求x2+y2的最大值和最小值.
解 如图,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
命题角度4 利用函数或基本不等式求最值问题例6　设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为　　　　　　　　　　　　. 
(2)已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)2=1,则2x-y的最大值为　　　　　,最小值为　　　　　. 
令b=2x-y,则b为直线2x-y=b在y轴上的截距的相反数,当直线2x-y=b与圆相切时,b取得最值.
(3)已知点P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-1)2=1上移动,则x2+y2的最小值为　　　.
(4)设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为　　　　　. 
易错警示——轨迹问题易忘记检验特殊点致错
典例　设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.
解题心得1.本题易忘记四边形MONP为平行四边形,导致未除去两个特殊点.2.本题也容易把求点P的轨迹理解成只求点P的轨迹方程,应注意求一动点满足的轨迹除了要求出轨迹方程,还要说明方程对应的是什么曲线.
变式训练已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.