高中数学一轮总复习课件5.1　数列的概念

这是一份高中数学一轮总复习课件5.1　数列的概念，共39页。PPT课件主要包含了课标要求，备考指导，内容索引，知识筛查，数列的分类，数列的表示方法，知识巩固，n+1，-2n-1，×3n-1等内容，欢迎下载使用。
1.通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是一种特殊函数.
本节内容是数列的基础,复习时要注意数列的函数特征,理解Sn与an的关系,能根据已知的递推公式特点选择恰当的方法求数列的通项公式.对逻辑推理和数学运算素养有一定的要求.
第一环节　必备知识落实
第二环节　关键能力形成
第三环节　学科素养提升
1.数列的相关概念(1)定义:把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.(2)数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an},an是数列的第n项.
温馨提示对数列概念的理解(1)多项性:数列概念中强调了“一列数”,即数列不止一个数,也就是说数列不止一项.(2)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,注意与集合中元素的无序性区别开来.(3)重复性:数列的项可重复出现,注意与集合中元素的互异性区别开来.(4)标准性:数列有固定的标准表示形式,例如数列中项与项之间用“,”隔开,不能用“、”隔开;an与{an}也不同,an表示数列{an}的第n项,其中下标n表示项的位置序号,而{an}表示数列a1,a2,…,an,….
2.数列与函数的关系由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系:序号　1　2　3　…　n　…　　　 ↓ ↓ ↓　　 ↓项　　a1 a2 a3 …　an …所以数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).
温馨提示有穷数列的最后一项也叫数列的末项,无穷数列没有末项.
5.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式,常用an=f(n)(n∈N*)表示.
问题思考数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区别与联系?
数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且在y=3x+5的图象上.
6.数列的递推公式像an=3an-1(n≥2)这样,如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项和递推公式,就能求出数列的每一项.7.数列的前n项和及前n项和公式我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)所有数列的第n项都能使用通项公式表示.(　　)(2)数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}是一回事.(　　)(3)若数列用图象表示,则从图象上看都是一群孤立的点.(　　)(4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个.(　　)(5)若数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an=Sn-Sn-1.(　　)
3.已知数列{an}的通项公式为an=9+12n,则在下列各数中,不是数列{an}的项的是(　　)A.21B.33C.152D.153
根据数列的前5项归纳总结可得,或根据选项检验,B选项符合题意.
依次令an=21,33,152,153,若能得到正整数解,则是数列中的项,否则不是.
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n,则an=　　　　　. 
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.当n=1时,a1=S1=3,也适合上式.综上,an=2n+1.
解 (1)偶数项为正数,奇数项为负数,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故该数列的一个通项公式an=(-1)n(6n-5).
解题心得1.根据所给数列的前几项求其通项公式时,要注意观察每一项的特点,抓住其几方面的特征:分式(分数)中分子、分母的各自特征,相邻项的变化特征,拆项后的各部分特征,符号特征,进而观察an与n之间的关系,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.2.若此类问题为选择题,则可以利用给出数列的前几项进行检验排除,即可得到正确的选项.
例2　(1)在数列{an}中,Sn是其前n项和,且Sn=2an+1,则数列{an}的通项公式an=　　　　　. (2)设Sn是数列{an}的前n项和(Sn≠0),且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=　　　　.
由题意得Sn+1=2an+1+1,Sn=2an+1,两式相减,得Sn+1-Sn=2an+1-2an,即an+1=2an.又S1=2a1+1=a1,因此a1=-1,所以数列{an}是以a1=-1为首项,2为公比的等比数列,所以an=-2n-1.(2)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,所以Sn+1-Sn=SnSn+1.
对点训练2(1)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式an=　　　　　. 
(3)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=2,an+1=2Sn,则Sn=　　　　　. 
因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=2Sn,所以Sn+1-Sn=2Sn,即Sn+1=3Sn.因为S1=a1=2,所以{Sn}是首项为2,公比为3的等比数列.故Sn=2×3n-1.
命题角度1 形如an+1=anf(n),求an例3　在数列{an}中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n≥2),求数列{an}的通项公式.
命题角度2 形如an+1=an+f(n),求an例4　在数列{an}中,已知a1=2,an+1=an+3n+2,求数列{an}的通项公式.
命题角度3 形如an+1=pan+q,求an例5　已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式.
(3)在数列{an}中,a1=1,若an+1=2an+3n,则数列{an}的通项公式an=　　　　　.
由an+1=2an+3n,得an+1-3n+1=2(an-3n).则数列{an-3n}是首项为a1-31=-2,公比q=2的等比数列,于是an-3n=-2×2n-1,即an=3n-2n.
思想方法——用函数的思想求数列中项的最值
数列是一种特殊的函数,通过函数的思想观点去直观地认识数列的本质是高考能力立意的指导思想.数列的通项公式及前n项和公式的作用在于刻画an及Sn与n的函数关系,数列的性质可以通过函数的性质反映出来,这为数列问题的解决提供了一个新的方向.在数列中,求an和Sn的最值问题都可以通过求相应函数的最值的方法解决,通常利用函数的单调性,要注意自变量不连续.
典例1　已知数列{an}是递增数列,且对于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是　　　　　. 答案:(-3,+∞)
(方法二)因为{an}是递增数列,所以an-3.
典例2　已知数列{an}.(1)若an=n2-5n+4,①数列{an}中有多少项是负数?②当n为何值时,an取最小值?请求出最小值.(2)若an=-n2+kn+4,且对于n∈N*,都有an+1