高端精品高中数学一轮专题-复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（讲）教案

这是一份高端精品高中数学一轮专题-复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（讲）教案，共2页。教案主要包含了自主学习，合作探究等内容，欢迎下载使用。

知识点1 复数的三角形式的运算
设z1＝r1(csθ1＋isinθ1)，z2＝r2(csθ2＋isinθ2)，则
(1)乘法：z1·z2＝r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
(2)除法：z1÷z2＝eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1,r2)[cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](其中z2≠0)，
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
(3)乘方：zn＝rn(csnθ＋isinnθ)．
(4)开方：eq \r(n,z)＝eq \r(n,r)(cseq \f(θ＋2kπ,n)＋isineq \f(θ＋2kπ,n))(k＝0,1,2，…，n－1)．
知识点2 复数三角形式乘、除运算的几何意义
两个复数z1，z2相乘时，可以像图中所示那样，先分别画出与z1，z2对应的向量 eq \(OZ1,\s\up6(→))， eq \(OZ2,\s\up6(→))，然后把向量 eq \(OZ1,\s\up6(→))绕点O按逆时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把 eq \(OZ1,\s\up6(→))按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量 eq \(OZ,\s\up6(→))， eq \(OZ,\s\up6(→))表示的复数就是积z1z2.这就是复数乘法的几何意义．
z2≠0，eq \f(z1,z2)的几何意义是把z的对应向量 eq \(OZ1,\s\up6(→))按顺时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把 eq \(OZ1,\s\up6(→))按逆时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的eq \f(1,r2)倍，所得的向量即表示商eq \f(z1,z2).
【合作探究】
探究一 复数的三角形式的乘、除运算
【例1】eq \r(2)(cseq \f(π,12)＋isineq \f(π,12))·eq \r(3)(cseq \f(π,6)＋isineq \f(π,6))．
【练习1】设复数z＝csθ＋isinθ，θ∈(π，2π)，求复数z2＋z的模和辐角．
探究二 复数的乘、除运算的几何意义
【例2】向量eq \(OZ,\s\up6(→))与－1＋i对应，把eq \(OZ,\s\up6(→))按逆时针方向旋转120°，得到eq \(OZ′,\s\up6(→))，求与向量eq \(OZ′,\s\up6(→))对应的复数
【练习2】如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明∠1＋∠2＋∠3＝eq \f(π,2).