高端精品高中数学一轮专题-数系的扩充和复数的概念（讲）教案

  数系的扩充和复数的概念

【自主学习】

知识点1　复数的引入

在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋bi|a，b∈R}，称i为虚数单位.

知识点2　复数的概念、分类

1.复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.

(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.

(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.

2.复数的分类及包含关系

(1)复数(a＋bi，a，b∈R)

(2)集合表示：

知识点3　复数相等

复数相等的充要条件：设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.即它们的实部与虚部分别对应相等.

【合作探究】

探究一  复数的概念

【例1】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.

①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.

【练习1】下列命题中，正确命题的个数是(　　)

①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；

②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；

③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.

A.0  B.1  C.2  D.3

探究二  复数的分类

【例2】设z＝ (m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).

(1)若z是虚数，求m的取值范围；

(2)若z是纯虚数，求m的值.

【练习2】实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.

探究三  两个复数相等

【例3】(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.

(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.

【练习3】已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i＞0，求实数x的值.