高端精品高中数学一轮专题-数系的扩充和复数的概念（讲）（带答案）教案

这是一份高端精品高中数学一轮专题-数系的扩充和复数的概念（讲）（带答案）教案，共3页。教案主要包含了自主学习，合作探究等内容，欢迎下载使用。
  数系的扩充和复数的概念【自主学习】知识点1　复数的引入在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋bi|a，b∈R}，称i为虚数单位.知识点2　复数的概念、分类1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.2.复数的分类及包含关系(1)复数(a＋bi，a，b∈R)(2)集合表示：知识点3　复数相等复数相等的充要条件：设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.即它们的实部与虚部分别对应相等.【合作探究】探究一  复数的概念【例1】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.解　①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数. 【练习1】下列命题中，正确命题的个数是(　　)①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A.0  B.1  C.2  D.3【答案】　A解析　①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.探究二  复数的分类【例2】设z＝ (m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).(1)若z是虚数，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的值.解　(1)因为z是虚数，故其虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是解得1＜m＜5，且m≠4.(2)因为z是纯虚数，故其实部(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是解得m＝2.【练习2】实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.解　由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.(3)当时，z是纯虚数，解得k＝4.(4)当时，z＝0，解得k＝－1.探究三  两个复数相等【例3】(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.解　(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴解得或(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，∴解得a＝11或a＝－.【练习3】已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i＞0，求实数x的值.解　∵z＞0，∴z∈R，∴x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.∵z＞0，∴－x＞0，且x2－4x＋3＝0.对于不等式－x＞0，x＝1满足，x＝3不满足，故x＝1.