高端精品高中数学一轮专题-复数乘、除运算的三角表示及其几何意义1试卷（带答案）

这是一份高端精品高中数学一轮专题-复数乘、除运算的三角表示及其几何意义1试卷（带答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课后作业A组 基础题一、选择题1．复数(sin10°＋icos10°)3的三角形式为(　　)A．sin30°＋icos30°　　　　 B．cos240°＋isin240°C．cos30°＋isin30° D．sin240°＋icos240°【答案】B2．若z＝cos θ－isin θ，则使z2＝－1的θ值可能是(　　)A．0　　　　B.     C．π　　　　D．2π【答案】B解析：∵z＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)，∴z2＝z·z＝cos(－2θ)＋isin(－2θ)＝cos2θ－isin2θ＝－1，∴∴θ＝.3．4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝(　　)A．6＋6i B．6－6iC．－6＋6i D．－6－6i【答案】D解析：4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝12[cos(60°＋150°)＋isin(60°＋150°)]＝12(cos210°＋isin210°)＝12＝－6－6i.故选D.4．复数z1＝1，z2是由z1绕原点O逆时针方向旋转而得到，则arg()的值为(　　)A.   B.C.   D.【答案】D5．(多选)设z1、z2是复数，argz1＝α，argz2＝β，则arg(z1·z2)有可能是下列情况中的(　　)A．α＋β B．α＋β－2πC．2π－(α＋β) D．π＋α＋β【答案】ABC解析：因为argz1＝α，argz2＝β，所以α∈[0,2π)，β∈[0,2π)，而arg(z1·z2)∈[0,2π)，则当α＋β∈[0,2π)时，arg(z1·z2)＝α＋β；当α＋β∈[2π，4π)时，α＋β－2π∈[0,2π)，则arg(z1·z2)＝α＋β－2π；当α＋β＝π时，2π－(α＋β)＝π＝α＋β，此时arg(z1·z2)＝α＋β＝2π－(α＋β)，故选ABC.二、填空题6．复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是               .【答案】－－i，－i解析：∵－i＝cos＋isin，其立方根是cos＋isin，k∈0,1,2，即i，－－i，－i.三、解答题7．计算：4(cos＋isin)÷2(cos＋isin)．解：原式＝2[cos(－)＋isin(－)]＝2(cos＋isin)＝2i.8．把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知z2＝－1－i，求复数z1的代数形式和它的辐角主值．解：由复数乘法的几何意义得z1(cos＋isin)＝z2(cos＋isin)，又z2＝－1－i＝2(cos＋isin)，∴z1＝＝2[cos(3π－)＋isin(3π－)]＝－＋i，z1的辐角主值为.9．计算：(cos＋isin)·4(cos＋isin)．解：原式＝4[cos(＋)＋isin(＋)]＝4(cos＋isin)＝2＋2i.10．若z＝(cos＋isin)，求z2与z3的值．解：z2＝z·z＝()2[cos(＋)＋isin(＋)]＝3(cos＋isin)＝＋i.z3＝z·z·z＝()3[cos(×3)＋isin(×3)]＝3(cos＋isin)＝3i.11．在复平面上A，B表示复数为α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，判断△AOB形状，并证明S△AOB＝|α|2.解：△AOB为等腰直角三角形．证明：∵α≠0，∴β＝(1＋i)α，∴＝1＋i＝(cos＋isin)，∴∠AOB＝；∵，分别表示复数α，β－α，由β－α＝αi，得＝i＝cos＋isin，∴∠OAB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形．∴S△AOB＝|OA|2＝|α|2.12．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1·z的对应点在虚轴的负半轴上，且argz2∈(0，π)，求z2的代数形式．解：因为z1＝2(cos＋isin)，设z2＝2(cosα＋isinα)，α∈(0，π)，所以z1z＝8[cos(2α＋)＋isin(2α＋)]．由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)，又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2(cos＋isin)＝－1＋i. B组 能力提升一、选择题1．复数z＝sin－icos，若zn＝(n∈N)，则n的最小值是(　　)A．1 B．3C．5 D．7【答案】C解析：因为z＝sin－icos＝cos＋isin，所以zn＝cosπ＋isinπ，＝cos－isin＝cos＋isin.因为zn＝，所以π＝＋2kπ，n＝，因为n∈N，k∈Z，所以当k＝4时，n＝5.2.设复数z1＝2sinθ＋icosθ(<θ<)在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数z2＝r(cosφ＋isinφ)，则tanφ＝(　　)A.   B.C.   D.【答案】A二、填空题3．(1－i)7＝64－64i.解析：(1－i)7＝7＝27＝128＝64－64i.三、解答题4．若z∈C，|z－2|≤1，求|z|的最大值，最小值和argz范围．解：如图，由|z－2|≤1，知z的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心，1为半径的圆面(包括圆周)，|z|表示圆面上任一点到原点的距离．显然1≤|z|≤3，∴|z|max＝3，|z|min＝1，另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|＝1，|OC|＝2知∠AOC＝∠BOC＝，∴argz∈[0，]∪[π，2π)． 5．已知复数z1＝－2＋i对应的点为P1，z2＝－3＋4i对应的点为P2，把向量绕P1点按顺时针方向旋转后，得到向量，求向量和点P对应的复数分别是什么？解：由题意知向量对应的复数是z2－z1＝(－3＋4i)－(－2＋i)＝－1＋3i.再由复数乘法的几何意义得，向量对应的复数是(－1＋3i)·＝3＋i，最后由复数加法的几何意义得，向量＝＋，其对应的复数是(－2＋i)＋(3＋i)＝1＋2i，故点P对应的复数为1＋2i.6．已知z＝－2i，z1－·z2＝0，argz2＝，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1的立方根．解：由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又argz2＝，所以z2＝(cos＋isin)，z1＝z2＝(1＋i)z2＝(cos＋isin)·(cos＋isin)＝2(cos＋isin)，所以z1的立方根为[cos＋isin]，k＝0,1,2，即(cos＋isin)，(cos＋isin)，(cos＋isin)．