高端精品高中数学一轮专题-二项式定理（讲）（带答案）教案

这是一份高端精品高中数学一轮专题-二项式定理（讲）（带答案）教案，共5页。教案主要包含了二项式定理的正用，二项展开式的通项的应用，求两个多项式积的特定项，二项式定理的应用等内容，欢迎下载使用。
二项式定理学习目标　  能用计数原理证明二项式定理.  掌握二项式定理及其展开式的通项公式.  会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点一　二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．知识点二　二项展开式的通项(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.思考　二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？答案　一般不同．前者仅为C，而后者是字母前的系数，故可能不同．1．(a＋b)n展开式中共有n项．(　×　)2．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　×　)3．Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　×　)4．(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同．(　√　)5．二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第k＋1项相同．(　×　)一、二项式定理的正用、逆用例1　(1)求的展开式．解　方法一　＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·＋C(3)·＋C＝81x2＋108x＋54＋＋.方法二　＝＝(1＋3x)4＝·＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2. (2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.解　原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.延伸探究若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.答案　44解析　∵(1＋)4＝1＋C×()1＋C×()2＋C×()3＋C×()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.反思感悟　(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1　化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．解　原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.二、二项展开式的通项的应用例2　(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求的展开式中x3的系数．解　(1)由已知得二项展开式的通项为Tk＋1＝C(2)6－k·＝26－kC·(－1)k·x3－，∴T6＝26－5C·(－1)5·x3－×5＝－12x－.∴第6项的二项式系数为C＝6，第6项的系数为－12.(2)设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则Tk＋1＝Cx9－k·＝(－1)k·C·x9－2k，令9－2k＝3，得k＝3，即展开式中第4项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84. 反思感悟　(1)求二项展开式的特定项的常见题型①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．(2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 跟踪训练2　已知二项式.(1)求展开式的第4项的二项式系数；(2)求展开式的第4项的系数；(3)求展开式的第4项．解　的展开式的通项是Tk＋1＝C(3)10－k＝C310－k·x(k＝0，1，2，…，10)．(1)展开式的第4项(k＝3)的二项式系数为C＝120.(2)展开式的第4项的系数为C37＝－77760.(3)展开式的第4项为T4＝T3＋1＝－77760. 三、求两个多项式积的特定项例3　(1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于(　　)A．－4  B．－3  C．－2  D．－1(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为(　　)A．10  B．－10  C．2  D．－2答案　(1)D　(2)C解析　(1)由二项式定理得(1＋x)5的展开式的通项为Tk＋1＝C·xk，所以(1＋ax)(1＋x)5的展开式中含x2的项的系数为C＋C·a＝5，所以a＝－1，故选D.(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为C·(2x)0·C·(－x)1＋C·(2x)1·C·14·(－x)0，其系数为C×C×(－1)＋C×2×C＝－4＋6＝2.反思感悟　求多项式积的特定项的方法——“双通法”所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Can－k(bx)k·Csm－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况．跟踪训练3　(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字作答)答案　－20解析　由二项展开式的通项公式可知，含x2y7的项可表示为x·Cxy7－y·Cx2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.四、二项式定理的应用例4　(1)试求201910除以8的余数；(2)求证：32n+2－8n－9(n∈N*)能被64整除．(1)解　201910＝(8×252＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴201910除以8的余数与310除以8的余数相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即201910除以8的余数也为1.(2)证明　32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋(n＋1)×8＋1－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82.①①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．反思感悟　利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．跟踪训练4　(1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．证明　1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋1－1＝31×(31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.解　0.9986＝(1－0.002)6＝1＋C·(－0.002)＋C·(－0.002)2＋…＋C·(－0.002)6.由题意知T3＝C(－0.002)2＝15×0.0022＝0.000 06<0.001，且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001，故0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988.