高端精品高中数学一轮专题-极值与最值4（带答案）试卷

这是一份高端精品高中数学一轮专题-极值与最值4（带答案）试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
极值与最值一、单选题1．函数的部分图像大致为（  ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，函数是偶函数，的图象关于轴对称，故排除B，又，故排除D. 在时取最小值，即时取最小值，解得x=，此时故排除C.故选:A.2．已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，在内不是单调函数，故在存在变号零点，即在存在零点，∴.故选：A.3．已知函数极值点的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由，可得，由，可得，令，可得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故可得函数存在一个极值点，故选：B.4．设，，，则大小关系是(  )A． B．C． D．【答案】A【解析】考查函数，则，在上单调递增，，，即，，故选A.5．已知函数，是其导函数，恒有，则(    )A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，即，因为，故，则上式等价于：，构造函数，则，即在区间单调递增.则，即，即，故正确，错误；又，即，即，故错误；又，即，即，故错误.故选：A.6．若对于任意的，都有，则的最大值为（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】由已知有，两边同时除以，化简有，而，构造函数，令 令 ，所以函数在上为增函数，在上为减函数，由对于恒成立，即在为增函数，则，故 的最大值为1，选C.7．已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】构造函数，其中，则，所以，函数在定义域上为增函数，在不等式两边同时乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集为，故选：D.点睛：本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：（1）根据导数不等式的结构构造新函数；（2）利用导数分析函数的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；（3）将不等式变形为，利用函数的单调性与奇偶性求解.8．已知定义在上的偶函数的导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，由，得，两边同乘得，设，则恒成立，∴在单调递减，由，则，即，因为是偶函数，所以也是偶函数，则不等式等价，即，则或，即实数的取值范围是，故选C．二、多选题9．已知为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】设，，则在上恒成立，故函数单调递增，故，即，A正确；设，，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，，即，故，B错误；设，，则在上恒成立，故函数单调递增，，即，C正确；设，，则在上恒成立，故函数单调递增，故，即，故，D正确.故选：ACD.10．关于函数，，下列说法正确的是（    ）A．当时，在处的切线方程为B．当时，存在唯一极小值点且C．对任意，在上均存在零点D．存在，在上有且只有一个零点【答案】ABD【解析】选项A，当时，，，所以，故切点为，，所以切线斜率，故直线方程为：，即切线方程为：，选项A符合题意；选项B，当时，，，，恒成立，所以单调递增，又，，故存在唯一极值点，不妨设，则，即，，选项B符合题意；对于选项，，令，即，当，且显然没有零点，故，且，所以，则令，，令，解得，，，所以单调递减，单调递增，有极小值，单调递增，单调单调递减，有极大值，故选项C，任意均有零点，不符合，选项D，存在，有且只有唯一零点，此时，故选：ABD.11．已知函数，下列结论中正确的是（    ）A．函数在时，取得极小值B．对于，恒成立C．若，则D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1【答案】BCD【解析】因为，所以，所以，所以不是函数的极值点，故A错；若，则，所以函数在区间上单调递减；因此，故B正确；令，则，因为在上恒成立，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减；又，所以，即，所以，故C正确；因为函数在上单调递减；所以时，函数也单调递减，因此在上恒成立；令，，则在上恒成立，所以在上单调递增，因此，即在上恒成立；综上，在上恒成立，故D正确.故选：BCD.12．关于函数，下列判断正确的是（    ）A．是的极大值点B．函数有且只有1个零点C．存在正实数，使得成立D．对任意两个正实数，，且，若，则.【答案】BD【解析】A.函数的 的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x），∴（0，2）上，f′（x）＜0，函数单调递减，（2，+∞）上，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＝2是f（x）的极小值点，即A错误；B.y＝f（x）﹣xlnx﹣x，∴y′10，函数在（0，+∞）上单调递减，且f（1）﹣1ln1﹣1=1>0，f（2）﹣2ln2﹣2= ln2﹣1<0，∴函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；C.若f（x）＞kx，可得k，令g（x），则g′（x），令h（x）＝﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）＝﹣lnx，∴在x∈（0，1）上，函数h（x）单调递增，x∈（1，+∞）上函数h（x）单调递减，∴h（x）⩽h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；D.令t∈（0，2），则2﹣t∈（0，2），2+t＞2，令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t）ln（2+t）ln（2﹣t）ln， 则g′（t）0，∴g（t）在（0，2）上单调递减，则g（t）＜g（0）＝0，令x1＝2﹣t，由f（x1）＝f（x2），得x2＞2+t，则x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，当x2≥4时，x1+x2＞4显然成立，∴对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4，故D正确故正确的是BD，故选：BD．三、填空题13．已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=____.【答案】2【解析】f′=3x2-12=3,令f′=0,得x=-2或x=2,易知f在上单调递减,在上单调递增,故f的极小值为f,所以a=2.14．若对任意x＞0，恒有，则实数a的取值范围为_____.【答案】【解析】由不等式，可得，设，则，设，当0＜t＜1时，；当t＞1时，，故在上单调递减，在上单调递增，因此，因此在上单调递增，由得eax≥x2，即，设，，当x＞e时，，函数单调递减，当0＜x＜e时，，函数单调递增，从而的最大值为，故.故答案为:.15．设函数，若存在实数使得恒成立，则的取值范围是____________．【答案】【解析】由题意，函数的定义域为，要使得存在实数使得恒成立，即恒成立，只需恒成立，即恒成立，即，设，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，即，设，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，即，所以只需，解得，即实数的取值范围是，故答案为：.16．某商场销售某种商品，该商品的成本为3元/千克，每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式，其中，当销售价格为_______元时，商场每日销售该商品所获得的最大利润为__________元.【答案】4    21    【解析】设商场每日销售该商品所获得的利润为元，则，则，令，得，令，得，所以函数在上递增，在上递减，所以时，取得最大值，最大值为21元.故答案为：（1）4 （2）21四、解答题17．已知函数（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）求证：当时，函数的图象在的下方．【答案】（1）的最小值是，最大值是；（2）证明详见解析.【解析】 (1)因为f(x)＝x2＋ln x，所以因为x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.(2)证明：令，所以因为x>1，所以F′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以.所以f(x)<g(x)．所以当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在的下方．18.已知函数，其中e是自然对数的底数.（1）若，证明：；（2）若时，都有，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意，当时，，所以，当时，； 当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在时取得极小值，也是最小值.所以.（2）令，，由时，都有，所以在上恒成立. 由，令，则在上恒成立.所以在上单调递增，又，①当时，，所以在上单调递增，所以，即，满足题意. ②当时，因为在上单调递增，所以，存在，使得当时，，在上单调递减，所以当时，，这与在上恒成立矛盾.综上所述，，即实数a的取值范围.19．已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）极大值为，极小值为.（2）【解析】（1）由得，故.令，解得或，由，得或，所以在和单调递增，由，得，所以在单调递减.所以极大值为，极小值为.（2），，令，得，，（i）当，即时，在单调递减，依题意则有成立，得，此时不成立；（ii）当，即时，在上单调递增，在上单调递减，依题意则有得，由于，故此时不成立；（iii）当，即时，在上单调递增，依题意则有，得 综上，的取值范围是.20．已知函数．（1）当时，求的极值；（2）当时，，求整数的最大值．【答案】（1）当时，无极值；当时，有极小值，无极大值．（2）1【解析】（1）当时，，所以，  ①当时，，在为增函数，无极值； ②当时，由得，由得；所以在为减函数，在为增函数．当时，取极小值，  综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值． （2）当时，，将函数看成以为主元的一次函数，则只需证即可， 因为，所以只需，令， ，所以．，令，，所以在递增，根据零点存在性定理，，使得，即． 当时，，即，为减函数，当时，，即，为增函数，所以，故； 在递增，，所以，又 所以整数的最大值是1．21．已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，即，故没有零点；③当时，，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.22．已知函数（1）当时，证明：；（2）当时，试判断的零点个数.【答案】（1）证明见解析（2）的零点个数为2【解析】（1）则.令，，易得在递减，在递增，在恒成立.在递减，在递增.，故（2），.①当时，，在单调递增，.在上有一个零点，②当时，，在恒成立，在无零点.③当时，，，在单调递减，在存在一个零点.综上，的零点个数为2.